Bir $x$ doğal sayısı $5$ ile bölündüğünde $2$, $6$ ile bölündüğünde $3$ kalanını vermektedir. Buna göre, $x$'in alabileceği en küçük iki basamaklı değer kaçtır?
A) $17$Bu tür sorular, genellikle modüler aritmetik prensipleri kullanılarak çözülür. Adım adım ilerleyelim:
Adım 1: Verilen Bilgileri Matematiksel Olarak İfade Edelim
Soruda verilen bilgilere göre, bir $x$ doğal sayısı için iki koşul bulunmaktadır:
$x$ sayısı $5$ ile bölündüğünde $2$ kalanını vermektedir. Bunu modüler aritmetik ile şöyle ifade ederiz: $x \equiv 2 \pmod{5}$
$x$ sayısı $6$ ile bölündüğünde $3$ kalanını vermektedir. Bunu da şöyle ifade ederiz: $x \equiv 3 \pmod{6}$
Adım 2: Kalanları İnceleyelim ve Ortak Bir Özellik Bulalım
Şimdi her iki denklemi de dikkatlice inceleyelim:
İlk denklemde, bölen $5$ ve kalan $2$. Aralarındaki fark $5 - 2 = 3$.
İkinci denklemde, bölen $6$ ve kalan $3$. Aralarındaki fark $6 - 3 = 3$.
Gördüğümüz gibi, her iki durumda da bölen ile kalan arasındaki fark aynıdır ($3$). Bu çok önemli bir ipucudur!
Eğer $x$ sayısına $3$ eklersek, her iki denklemin de kalanı $0$ olur. Yani $x+3$ sayısı hem $5$'e hem de $6$'ya tam bölünür.
Matematiksel olarak ifade edersek:
$x \equiv 2 \pmod{5} \implies x+3 \equiv 2+3 \pmod{5} \implies x+3 \equiv 5 \pmod{5} \implies x+3 \equiv 0 \pmod{5}$
$x \equiv 3 \pmod{6} \implies x+3 \equiv 3+3 \pmod{6} \implies x+3 \equiv 6 \pmod{6} \implies x+3 \equiv 0 \pmod{6}$
Adım 3: $x+3$ Sayısının Genel Formunu Bulalım
$x+3$ sayısı hem $5$'in hem de $6$'nın tam katı olduğuna göre, $x+3$ sayısı $5$ ve $6$'nın en küçük ortak katının (EKOK) bir katı olmalıdır.
$EKOK(5, 6)$'yı bulalım. $5$ ve $6$ aralarında asal sayılar olduğu için $EKOK(5, 6) = 5 \times 6 = 30$.
Bu durumda, $x+3$ sayısı $30$'un bir katı olmalıdır. Bunu matematiksel olarak şöyle ifade ederiz:
$x+3 = 30n$ (burada $n$ bir doğal sayıdır ve $n \ge 1$ olmalıdır, çünkü $x$ doğal sayıdır ve $x+3$ pozitif olmalıdır.)
$x$'i yalnız bırakırsak, $x = 30n - 3$ genel formunu elde ederiz.
Adım 4: $x$'in Alabileceği En Küçük İki Basamaklı Değeri Bulalım
Şimdi $x = 30n - 3$ formülünde $n$ yerine doğal sayılar vererek $x$'in değerlerini bulalım ve en küçük iki basamaklı olanı seçelim:
Eğer $n=1$ alırsak: $x = 30(1) - 3 = 30 - 3 = 27$.
Eğer $n=2$ alırsak: $x = 30(2) - 3 = 60 - 3 = 57$.
Ve bu şekilde devam eder.
Bizden $x$'in alabileceği en küçük iki basamaklı değeri isteniyor. $n=1$ için bulduğumuz $x=27$ değeri iki basamaklıdır ve bu koşulları sağlayan en küçük pozitif değerdir. (Eğer $n=0$ alsaydık $x=-3$ olurdu ki bu bir doğal sayı değildir.)
Adım 5: Cevabı Kontrol Edelim
Bulduğumuz $x=27$ değerini sorudaki koşullara göre kontrol edelim:
$27$ sayısı $5$ ile bölündüğünde: $27 = 5 \times 5 + 2$. Kalan $2$'dir. (Doğru)
$27$ sayısı $6$ ile bölündüğünde: $27 = 6 \times 4 + 3$. Kalan $3$'tür. (Doğru)
$27$ aynı zamanda iki basamaklıdır ve bu koşulları sağlayan en küçük sayıdır.
Cevap C seçeneğidir.
