10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 2. senaryo test 2

Bir $ABC$ üçgeninde $a=6$ cm, $B=30^\circ$ ve $A=45^\circ$ olduğuna göre, $b$ kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

A) $3\sqrt{2}$
B) $3\sqrt{3}$
C) $6\sqrt{2}$
D) $6\sqrt{3}$
E) $12\sqrt{2}$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda bir üçgenin iki açısı ve bir kenar uzunluğu verilmiş. Bizden diğer bir kenar uzunluğunu bulmamız isteniyor. Bu tür durumlarda genellikle Sinüs Teoremi'ni kullanırız. Haydi adım adım çözümümüze geçelim:

• 1. Verilen Bilgileri Belirleyelim:

  Üçgenimiz $ABC$ üçgeni.

  • $a$ kenarının uzunluğu (A açısının karşısındaki kenar): $a=6$ cm
  • $A$ açısının ölçüsü: $A=45^\circ$
  • $B$ açısının ölçüsü: $B=30^\circ$
  • Bizden istenen $b$ kenarının uzunluğu (B açısının karşısındaki kenar).
• 2. Sinüs Teoremi'ni Hatırlayalım:

  Sinüs Teoremi, bir üçgende her kenarın uzunluğunun, o kenarın karşısındaki açının sinüsüne oranının sabit olduğunu ifade eder. Yani:

  $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

  Bizim sorumuzda $a$, $A$, $B$ bilindiği ve $b$ istendiği için, Sinüs Teoremi'nin şu kısmını kullanacağız:

  $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

• 3. Bilinen Değerleri Yerine Yazalım:

  Verilen değerleri formülde yerine koyalım:

  $\frac{6}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 30^\circ}$

• 4. Trigonometrik Değerleri Bulalım:

  Şimdi $\sin 45^\circ$ ve $\sin 30^\circ$ değerlerini hatırlayalım:

  • $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
  • $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
• 5. Denklemi Çözelim:

  Bulduğumuz sinüs değerlerini denklemde yerine yazalım:

  $\frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\frac{1}{2}}$

  Şimdi denklemi $b$ için çözelim:

  $6 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = b \cdot 2$

  Sol tarafı sadeleştirelim:

  $\frac{12}{\sqrt{2}} = 2b$

  Paydayı rasyonel yapmak için $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ ile çarpalım:

  $\frac{12\sqrt{2}}{2} = 2b$

  $6\sqrt{2} = 2b$

  Her iki tarafı $2$'ye bölelim:

  $b = \frac{6\sqrt{2}}{2}$

  $b = 3\sqrt{2}$ cm

• 6. Sonucu Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Bulduğumuz $b = 3\sqrt{2}$ cm değeri, A seçeneğindeki değer ile aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.