10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 2. senaryo test 3

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB|=8$ cm, $|AC|=10$ cm ve $m(\widehat{BAC})=30^\circ$ olduğuna göre, $ABC$ üçgeninin alanı kaç $\text{cm}^2$dir?

A) $10$
B) $20$
C) $30$
D) $40$
E) $50$

Bir üçgenin alanını hesaplamak için farklı yöntemler bulunur. Bu soruda, iki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açı verildiği için, trigonometrik alan formülünü kullanacağız. Bu formül, üçgenin alanını kolayca bulmamızı sağlar.

• Adım 1: Sorudaki Verileri Belirleyelim

Bize verilen $ABC$ üçgeni için:

• $|AB|=8$ cm (Birinci kenar uzunluğu)
• $|AC|=10$ cm (İkinci kenar uzunluğu)
• $m(\widehat{BAC})=30^\circ$ (İki kenar arasındaki açı)

Bizden $ABC$ üçgeninin alanını bulmamız isteniyor.

• Adım 2: Uygun Alan Formülünü Hatırlayalım

Bir üçgende iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açı biliniyorsa, üçgenin alanı şu formülle hesaplanır:

Alan $= \frac{1}{2} \times \text{kenar}_1 \times \text{kenar}_2 \times \sin(\text{aradaki açı})$

Bu durumda, formülümüz şöyle olacaktır:

Alan $(ABC) = \frac{1}{2} \times |AB| \times |AC| \times \sin(m(\widehat{BAC}))$

• Adım 3: Verilen Değerleri Formülde Yerine Yazalım

Şimdi elimizdeki değerleri formüle yerleştirelim:

Alan $(ABC) = \frac{1}{2} \times 8 \times 10 \times \sin(30^\circ)$

• Adım 4: $\sin(30^\circ)$ Değerini Bulalım

Trigonometride sıkça karşılaştığımız özel açılardan biri olan $30^\circ$'nin sinüs değeri $\frac{1}{2}$'dir. Yani, $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

• Adım 5: Hesaplamayı Tamamlayalım

Bulduğumuz $\sin(30^\circ)$ değerini formüldeki yerine yazarak alanı hesaplayalım:

Alan $(ABC) = \frac{1}{2} \times 8 \times 10 \times \frac{1}{2}$

Önce çarpma işlemlerini yapalım:

Alan $(ABC) = \frac{1}{2} \times 80 \times \frac{1}{2}$

Şimdi sadeleştirmeleri yapabiliriz:

Alan $(ABC) = 40 \times \frac{1}{2}$

Alan $(ABC) = 20$

Üçgenin alanı $20 \text{ cm}^2$dir.

Bu adımları takip ederek üçgenin alanını $20 \text{ cm}^2$ olarak bulduk.

Cevap B seçeneğidir.