Bir $x$ doğal sayısının $6$ ile bölümünden kalan $4$ ise, $3x+5$ sayısının $6$ ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 1Bu tür sorular, matematiksel düşünme becerilerimizi ve sayıların özelliklerini anlamamızı gerektirir. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözebiliriz.
Soruda bize bir $x$ doğal sayısının $6$ ile bölümünden kalanın $4$ olduğu söyleniyor. Bu ne anlama geliyor?
Bir sayının bir başka sayıya bölümünden kalan, o sayının bölünenin katları cinsinden nasıl yazılabileceğini gösterir. Örneğin, $10$'un $3$ ile bölümünden kalan $1$'dir, çünkü $10 = 3 \times 3 + 1$ şeklinde yazabiliriz.
Benzer şekilde, $x$'in $6$ ile bölümünden kalan $4$ ise, $x$ sayısını $6$'nın bir katı artı $4$ şeklinde yazabiliriz. Yani:
$x = 6k + 4$
Burada $k$ bir tam sayıdır (örneğin $0, 1, 2, \dots$). Eğer $k=0$ olursa $x=4$, $k=1$ olursa $x=10$, $k=2$ olursa $x=16$ gibi. Bu sayıların hepsi $6$ ile bölündüğünde $4$ kalanını verir.
Bizden $3x+5$ sayısının $6$ ile bölümünden kalanı bulmamız isteniyor. $x$ için bulduğumuz ifadeyi ($6k+4$) bu denklemde yerine koyalım:
$3x+5 = 3(6k+4) + 5$
Şimdi cebirsel işlemleri yaparak ifadeyi basitleştirelim:
$3(6k+4) + 5 = (3 \times 6k) + (3 \times 4) + 5$
$= 18k + 12 + 5$
$= 18k + 17$
Yani, $3x+5$ sayısı aslında $18k+17$ şeklinde bir sayıdır.
Şimdi $18k+17$ sayısının $6$ ile bölümünden kalanı bulmamız gerekiyor. Bu ifadeyi iki parçaya ayırabiliriz: $18k$ ve $17$.
$18$ sayısı $6$'nın tam bir katıdır ($18 = 6 \times 3$). Dolayısıyla $18k$ ifadesi de $6$'nın bir katı olacaktır. Bu durumda $18k$'nın $6$ ile bölümünden kalan $0$'dır.
$17$ sayısını $6$'ya bölelim:
$17 = 6 \times 2 + 5$
Yani $17$'nin $6$ ile bölümünden kalan $5$'tir.
Bu iki kalanı topladığımızda, $18k+17$ sayısının $6$ ile bölümünden kalanı buluruz:
Kalan $= (\text{18k'nin kalanı}) + (\text{17'nin kalanı})$
Kalan $= 0 + 5 = 5$
Bu durumda, $3x+5$ sayısının $6$ ile bölümünden kalan $5$'tir.
Cevap E seçeneğidir.
