Bir $A$ doğal sayısı $7$ ile bölündüğünde kalan $4$ ise, $3A+5$ sayısının $7$ ile bölümünden kalan kaçtır?
A) $0$Merhaba sevgili öğrenciler, bu problemde modüler aritmetik (kalan bulma) konusunu kullanarak bir sayının $7$ ile bölümünden kalanı bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
Adım 1: Verilen Bilgiyi Anlayalım
Soruda bize "$A$ doğal sayısı $7$ ile bölündüğünde kalan $4$" olarak verilmiş. Bu ifadeyi matematiksel olarak şöyle yazabiliriz:
$A \equiv 4 \pmod{7}$
Bu, $A$ sayısının $7$'ye bölümünden kalanın $4$ olduğu anlamına gelir. Yani $A$ sayısı $7k+4$ şeklinde bir sayıdır, burada $k$ bir tam sayıdır.
Adım 2: İstenen İfadeyi Modüler Aritmetik Kurallarına Göre Düzenleyelim
Bizden $3A+5$ sayısının $7$ ile bölümünden kalan isteniyor. Modüler aritmetikte, bir sayının kalanını bulurken, o sayının yerine eşdeğer olan kalanını yazabiliriz. Yani, $A \equiv 4 \pmod{7}$ olduğu için, $3A+5$ ifadesindeki $A$ yerine $4$ yazabiliriz:
$3A+5 \equiv 3(4)+5 \pmod{7}$
Adım 3: İşlemi Yapalım ve Kalanı Bulalım
Şimdi $3(4)+5$ işlemini yapalım:
$3(4)+5 = 12+5 = 17$
Yani, $3A+5 \equiv 17 \pmod{7}$ oldu. Şimdi $17$ sayısının $7$ ile bölümünden kalanı bulmamız gerekiyor. $17$ sayısını $7$'ye böldüğümüzde:
$17 = 2 \times 7 + 3$
Buradan $17$'nin $7$ ile bölümünden kalanın $3$ olduğunu görürüz. Matematiksel olarak:
$17 \equiv 3 \pmod{7}$
Adım 4: Sonucu Belirleyelim
Buna göre, $3A+5$ sayısının $7$ ile bölümünden kalan $3$'tür.
Cevap D seçeneğidir.
