Bu tür üslü sayıların bir sayıya bölümünden kalanı bulma sorularında, genellikle bir örüntü (döngü) ararız. $3$ sayısının kuvvetlerinin $5$'e bölümünden kalanları inceleyerek bu örüntüyü bulalım:
- Adım 1: $3$ sayısının ilk birkaç kuvvetinin $5$'e bölümünden kalanları bulalım.
-
$3^1 = 3$. $3$'ün $5$'e bölümünden kalan $3$'tür. Matematiksel olarak $3^1 \equiv 3 \pmod{5}$ şeklinde ifade ederiz.
-
$3^2 = 9$. $9$'un $5$'e bölümünden kalan $4$'tür. Yani $3^2 \equiv 4 \pmod{5}$.
-
$3^3 = 27$. $27$'nin $5$'e bölümünden kalan $2$'dir. Yani $3^3 \equiv 2 \pmod{5}$.
-
$3^4 = 81$. $81$'in $5$'e bölümünden kalan $1$'dir. Yani $3^4 \equiv 1 \pmod{5}$.
-
$3^5 = 243$. $243$'ün $5$'e bölümünden kalan $3$'tür. Yani $3^5 \equiv 3 \pmod{5}$.
- Adım 2: Kalanlardaki örüntüyü (döngüyü) belirleyelim.
-
Yukarıdaki hesaplamalara baktığımızda, kalanların sırasıyla $3, 4, 2, 1$ olduğunu ve $3^4 \equiv 1 \pmod{5}$ olduktan sonra $3^5$ kuvvetinin kalanının tekrar $3$ olduğunu görüyoruz. Bu, kalanların $3, 4, 2, 1$ şeklinde $4$ adımda bir tekrar ettiği anlamına gelir. Bu döngünün uzunluğu $4$'tür.
- Adım 3: Üs olan $2023$ sayısını döngü uzunluğuna ($4$) bölelim.
-
$3^{2023}$ sayısının $5$'e bölümünden kalanı bulmak için, üs olan $2023$ sayısının döngü uzunluğu olan $4$'e bölümünden kalanı bulmamız gerekir.
-
Bir sayının $4$'e bölümünden kalanı bulmak için sadece son iki basamağına bakmak yeterlidir. Bu durumda $2023$ sayısının son iki basamağı $23$'tür.
-
$23 \div 4$ işlemini yapalım: $23 = 4 \times 5 + 3$.
-
Yani $23$'ün $4$'e bölümünden kalan $3$'tür. Bu da $2023 \equiv 3 \pmod{4}$ demektir.
- Adım 4: Bulduğumuz kalanı kullanarak nihai sonuca ulaşalım.
-
$2023$ sayısının $4$'e bölümünden kalan $3$ olduğu için, $3^{2023}$ sayısının $5$'e bölümünden kalan, $3^3$ sayısının $5$'e bölümünden kalana eşit olacaktır.
-
$3^3 = 27$.
-
$27$'nin $5$'e bölümünden kalan $2$'dir.
Bu nedenle, $3^{2023}$ sayısının $5$'e bölümünden kalan $2$'dir.
Cevap B seçeneğidir.
