Bir $ABC$ üçgeninde $AD$ kenarortay, $BE$ açıortay ve $CF$ yüksekliktir. Aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
A) $AD \perp BC$
B) $BE$ aynı zamanda kenarortaydır.
C) $CF$ aynı zamanda açıortaydır.
D) $AD$, $BC$ kenarını iki eşit parçaya böler.
E) $BE$, $AC$ kenarını iki eşit parçaya böler.
Bir üçgende kenarortay, açıortay ve yüksekliğin tanımlarını hatırlayarak soruyu adım adım inceleyelim.
-
$AD$ kenarortaydır: Bir üçgende kenarortay, bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasıdır. Bu tanıma göre, $D$ noktası $BC$ kenarının orta noktasıdır. Yani $BD = DC$ olur.
-
$BE$ açıortaydır: Bir üçgende açıortay, bir açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçasıdır. Bu tanıma göre, $\angle ABE = \angle EBC$ olur.
-
$CF$ yüksekliktir: Bir üçgende yükseklik, bir köşeden karşı kenara veya uzantısına indirilen dik doğru parçasıdır. Bu tanıma göre, $CF \perp AB$ olur.
Şimdi seçenekleri tek tek değerlendirelim:
-
A) $AD \perp BC$: Bu ifade, $AD$ kenarortayının aynı zamanda yükseklik olduğu anlamına gelir. Bir kenarortayın aynı zamanda yükseklik olması için üçgenin $AB=AC$ olacak şekilde ikizkenar olması gerekir. Bu durum her zaman doğru değildir, sadece özel üçgenler için geçerlidir. Dolayısıyla A seçeneği daima doğru değildir.
-
B) $BE$ aynı zamanda kenarortaydır: Bu ifade, $BE$ açıortayının aynı zamanda kenarortay olduğu anlamına gelir. Bir açıortayın aynı zamanda kenarortay olması için üçgenin $AB=BC$ olacak şekilde ikizkenar olması gerekir. Bu durum her zaman doğru değildir. Dolayısıyla B seçeneği daima doğru değildir.
-
C) $CF$ aynı zamanda açıortaydır: Bu ifade, $CF$ yüksekliğinin aynı zamanda açıortay olduğu anlamına gelir. Bir yüksekliğin aynı zamanda açıortay olması için üçgenin $AC=BC$ olacak şekilde ikizkenar olması gerekir. Bu durum her zaman doğru değildir. Dolayısıyla C seçeneği daima doğru değildir.
-
D) $AD$, $BC$ kenarını iki eşit parçaya böler: $AD$ kenarortayının tanımına göre, $D$ noktası $BC$ kenarının orta noktasıdır. Orta nokta, kenarı iki eşit parçaya böler. Yani $BD = DC$ olur. Bu, kenarortayın tanımının doğrudan bir sonucudur ve her üçgen için daima geçerlidir. Dolayısıyla D seçeneği daima doğrudur.
-
E) $BE$, $AC$ kenarını iki eşit parçaya böler: Bu ifade, $BE$ açıortayının $AC$ kenarını iki eşit parçaya böldüğü anlamına gelir, yani $E$ noktasının $AC$ kenarının orta noktası olduğu anlamına gelir. Bu durum, $BE$ aynı zamanda kenarortay olduğunda geçerlidir ki bu da üçgenin ikizkenar olmasını gerektirir. Her zaman doğru değildir. Dolayısıyla E seçeneği daima doğru değildir.
Yukarıdaki analizler sonucunda, $AD$ kenarortayının tanımı gereği $BC$ kenarını her zaman iki eşit parçaya böldüğü sonucuna varırız.
Cevap D seçeneğidir.
