10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 1. senaryo Test 1

Bir üçgenin taban uzunluğu $10$ cm ve bu tabana ait yüksekliği $8$ cm'dir. Eğer taban uzunluğu sabit kalıp yükseklik $2$ katına çıkarılırsa, üçgenin alanı nasıl değişir?

A) Alan $2$ katına çıkar.
B) Alan $4$ katına çıkar.
C) Alan yarıya iner.
D) Alan değişmez.
E) Alan $3$ katına çıkar.

Bir üçgenin alanını hesaplamak için kullandığımız temel formülü hatırlayarak başlayalım. Üçgenin alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.

• 1. Adım: Başlangıçtaki Üçgenin Alanını Hesaplayalım
• Bize verilen ilk bilgiler şunlardır:
• Taban uzunluğu ($b_1$) = $10$ cm
• Yükseklik ($h_1$) = $8$ cm
• Üçgenin alan formülü: Alan ($A$) = $\frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}$
• Bu değerleri formülde yerine koyarsak, başlangıçtaki alan ($A_1$) şöyle bulunur:
• $A_1 = \frac{1}{2} \times 10 \text{ cm} \times 8 \text{ cm}$
• $A_1 = \frac{1}{2} \times 80 \text{ cm}^2$
• $A_1 = 40 \text{ cm}^2$
• Demek ki, başlangıçtaki üçgenin alanı $40$ santimetrekaredir.
• 2. Adım: Değişiklikleri Belirleyelim
• Soruda belirtilen değişiklikler şunlardır:
• Taban uzunluğu sabit kalıyor. Yani yeni taban uzunluğu ($b_2$) = $b_1 = 10$ cm.
• Yükseklik $2$ katına çıkarılıyor. Yani yeni yükseklik ($h_2$) = $2 \times h_1$.
• $h_2 = 2 \times 8 \text{ cm} = 16 \text{ cm}$.
• 3. Adım: Yeni Üçgenin Alanını Hesaplayalım
• Şimdi yeni taban ve yükseklik değerlerini kullanarak üçgenin yeni alanını ($A_2$) hesaplayalım:
• $A_2 = \frac{1}{2} \times \text{yeni taban} \times \text{yeni yükseklik}$
• $A_2 = \frac{1}{2} \times 10 \text{ cm} \times 16 \text{ cm}$
• $A_2 = \frac{1}{2} \times 160 \text{ cm}^2$
• $A_2 = 80 \text{ cm}^2$
• Yeni üçgenin alanı $80$ santimetrekaredir.
• 4. Adım: Alanın Nasıl Değiştiğini Karşılaştıralım
• Başlangıçtaki alan ($A_1$) = $40 \text{ cm}^2$
• Yeni alan ($A_2$) = $80 \text{ cm}^2$
• Gördüğümüz gibi, $80 \text{ cm}^2$, $40 \text{ cm}^2$'nin $2$ katıdır.
• Yani, $A_2 = 2 \times A_1$.
• Bu durumda, üçgenin alanı $2$ katına çıkmıştır.

Cevap A seçeneğidir.