10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 1. senaryo Test 2

Bir üçgenin taban uzunluğu $10$ cm ve bu tabana ait yüksekliği $8$ cm'dir. Eğer taban uzunluğu sabit kalıp yükseklik $2$ katına çıkarılırsa, üçgenin alanı nasıl değişir?

A) Alan $2$ katına çıkar.
B) Alan değişmez.
C) Alan yarıya iner.
D) Alan $4$ katına çıkar.
E) Alan $2$ cm artar.

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda bir üçgenin alanının, yüksekliği değiştiğinde nasıl etkilendiğini adım adım inceleyeceğiz. Haydi başlayalım!

• 1. Üçgenin Alan Formülünü Hatırlayalım:

  Bir üçgenin alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:

  $Alan = \frac{Taban \times Yükseklik}{2}$ veya kısaca $Alan = \frac{b \times h}{2}$

  Burada '$b$' taban uzunluğunu, '$h$' ise yüksekliği temsil eder.

• 2. Başlangıçtaki Üçgenin Alanını Hesaplayalım:

  Soruda verilen ilk değerler şunlardır:

  • Taban uzunluğu ($b_1$) $= 10$ cm
  • Yükseklik ($h_1$) $= 8$ cm

  Bu değerleri formülde yerine koyarak başlangıçtaki alanı ($Alan_1$) bulalım:

  $Alan_1 = \frac{10 \text{ cm} \times 8 \text{ cm}}{2} = \frac{80 \text{ cm}^2}{2} = 40 \text{ cm}^2$

  Demek ki, başlangıçtaki üçgenin alanı $40$ cm$^2$'dir.

• 3. Yüksekliğin Değişimini Belirleyelim:

  Soruda deniyor ki, taban uzunluğu sabit kalacak ama yükseklik $2$ katına çıkarılacak.

  • Yeni taban uzunluğu ($b_2$) = Başlangıçtaki taban uzunluğu ($b_1$) $= 10$ cm (sabit kaldı)
  • Yeni yükseklik ($h_2$) = Başlangıçtaki yüksekliğin ($h_1$) $2$ katı $= 2 \times 8 \text{ cm} = 16 \text{ cm}$
• 4. Yeni Üçgenin Alanını Hesaplayalım:

  Şimdi yeni taban ve yükseklik değerlerini kullanarak üçgenin yeni alanını ($Alan_2$) bulalım:

  $Alan_2 = \frac{b_2 \times h_2}{2} = \frac{10 \text{ cm} \times 16 \text{ cm}}{2} = \frac{160 \text{ cm}^2}{2} = 80 \text{ cm}^2$

  Yeni durumda üçgenin alanı $80$ cm$^2$'dir.

• 5. Alanlardaki Değişimi Karşılaştıralım:

  Başlangıçtaki alan $40$ cm$^2$ idi. Yeni alan ise $80$ cm$^2$ oldu. Acaba alan nasıl değişti?

  Yeni alanı başlangıçtaki alana bölelim: $\frac{80 \text{ cm}^2}{40 \text{ cm}^2} = 2$

  Bu sonuç bize, yeni alanın başlangıçtaki alanın $2$ katı olduğunu gösterir.

  Yani, yükseklik $2$ katına çıktığında, üçgenin alanı da $2$ katına çıkmıştır.

Bu durumda doğru seçenek, alanın $2$ katına çıktığını belirten seçenektir.

Cevap A seçeneğidir.