Aşağıdaki bağıntılardan hangisi bir fonksiyon belirtir?
A) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{1}{x-1}$
B) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \sqrt{x}$
C) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x^2+y^2=1$
D) $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2+3$
E) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \pm x$
Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için iki temel şartı sağlaması gerekir:
- Tanım Kümesindeki Her Eleman Eşleşmeli: Tanım kümesindeki her elemanın, değer kümesinde bir görüntüsü olmalıdır. Yani tanım kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.
- Tek Bir Görüntüye Sahip Olmalı: Tanım kümesindeki her elemanın, değer kümesinde yalnızca bir tane görüntüsü olmalıdır. Yani bir eleman birden fazla farklı elemanla eşleşmemelidir.
Şimdi seçenekleri bu kurallara göre inceleyelim:
- A) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{1}{x-1}$
- Bu bağıntıda $x=1$ için payda sıfır olur ve $f(1)$ tanımsızdır.
- Ancak tanım kümesi $\mathbb{R}$ (tüm reel sayılar) olarak verilmiştir. $1 \in \mathbb{R}$ olmasına rağmen, $1$ sayısının değer kümesinde bir karşılığı yoktur.
- Bu nedenle, tanım kümesindeki her eleman eşleşmediği için bu bir fonksiyon değildir.
- B) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \sqrt{x}$
- Bu bağıntıda karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir, yani $x \ge 0$ olmalıdır.
- Ancak tanım kümesi $\mathbb{R}$ olarak verilmiştir. Örneğin, $x=-1$ için $f(-1) = \sqrt{-1}$ bir reel sayı değildir.
- Tanım kümesindeki negatif reel sayılar için değer kümesi $\mathbb{R}$'de bir karşılık bulunmadığından, bu bir fonksiyon değildir.
- C) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x^2+y^2=1$
- Bu bağıntıda $y$'yi yalnız bırakırsak $y^2 = 1-x^2 \implies y = \pm \sqrt{1-x^2}$ elde ederiz.
- Örneğin, $x=0$ için $y = \pm \sqrt{1-0^2} = \pm 1$ olur. Yani $x=0$ elemanı hem $1$ hem de $-1$ ile eşleşmektedir.
- Bir eleman birden fazla görüntüye sahip olduğu için bu bir fonksiyon değildir. Ayrıca, $x=2$ gibi değerler için $y = \pm \sqrt{1-2^2} = \pm \sqrt{-3}$ reel sayı değildir, yani tanım kümesindeki her eleman eşleşmez.
- D) $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2+3$
- Tanım kümesi $\mathbb{Z}$ (tam sayılar) ve değer kümesi $\mathbb{R}$ (reel sayılar) olarak verilmiştir.
- Tanım kümesindeki her $x$ tam sayısı için $x^2$ bir tam sayıdır ve $x^2+3$ de bir tam sayıdır.
- Her tam sayı aynı zamanda bir reel sayı olduğu için, $f(x)$'in sonucu her zaman değer kümesi $\mathbb{R}$'nin bir elemanı olacaktır.
- Ayrıca, her $x$ tam sayısı için $x^2+3$ ifadesinin sonucu tek ve belirli bir reel sayıdır. Örneğin, $f(2) = 2^2+3 = 7$ ve $f(-1) = (-1)^2+3 = 4$.
- Hem tanım kümesindeki her eleman eşleşmekte hem de her elemanın tek bir görüntüsü bulunmaktadır. Bu nedenle bu bir fonksiyondur.
- E) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \pm x$
- Bu bağıntıda $x \neq 0$ için her $x$ değeri iki farklı değere eşleşir. Örneğin, $f(2) = \pm 2$, yani $2$ hem $2$ ile hem de $-2$ ile eşleşir.
- Bir eleman birden fazla görüntüye sahip olduğu için bu bir fonksiyon değildir.
Cevap D seçeneğidir.
