Kenar uzunlukları $120 \text{ cm}$ ve $150 \text{ cm}$ olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçe, hiç boşluk kalmayacak ve üst üste gelmeyecek şekilde eş kare parsellere ayrılacaktır. Bu kare parsellerden birinin kenar uzunluğu en fazla kaç $\text{cm}$ olabilir?
A) 10Sevgili öğrenciler, bu problemde dikdörtgen şeklindeki bir bahçeyi eş kare parsellere ayırmak istiyoruz. Bu kare parsellerin kenar uzunluğunun en fazla kaç olabileceğini bulmamız gerekiyor. Gelin bu problemi adım adım çözelim:
Elimizde kenar uzunlukları $120 \text{ cm}$ ve $150 \text{ cm}$ olan dikdörtgen bir bahçe var. Bu bahçeyi hiç boşluk kalmayacak ve üst üste gelmeyecek şekilde eş kare parsellere ayıracağız. Kare parsellerin kenar uzunluğu, hem $120 \text{ cm}$'lik kenara hem de $150 \text{ cm}$'lik kenara tam olarak sığmalıdır. Yani, kare parsellerin kenar uzunluğu, hem $120$'yi hem de $150$'yi tam bölen bir sayı olmalıdır. Ayrıca, bu karelerin kenar uzunluğunun en fazla olmasını istiyoruz.
Bir sayının hem $120$'yi hem de $150$'yi tam bölmesi gerektiği ve bu sayının en büyük olmasını istediğimiz için, aslında $120$ ve $150$ sayılarının En Büyük Ortak Böleni (EBOB)'ni bulmamız gerekiyor. EBOB, iki veya daha fazla sayıyı aynı anda bölen en büyük sayıdır.
$120$ ve $150$ sayılarının EBOB'unu bulmak için asal çarpanlarına ayırma yöntemini kullanabiliriz:
Önce $120$ sayısının asal çarpanlarını bulalım:
$120 = 10 \times 12 = (2 \times 5) \times (2 \times 2 \times 3) = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
Şimdi de $150$ sayısının asal çarpanlarını bulalım:
$150 = 10 \times 15 = (2 \times 5) \times (3 \times 5) = 2^1 \times 3^1 \times 5^2$
EBOB'u bulmak için, her iki sayıda da ortak olan asal çarpanlardan üssü en küçük olanları seçip çarparız:
Ortak asal çarpanlar $2, 3, 5$'tir.
Asal çarpan $2$ için: $120$'de $2^3$, $150$'de $2^1$ var. En küçük üs $2^1$'dir.
Asal çarpan $3$ için: $120$'de $3^1$, $150$'de $3^1$ var. En küçük üs $3^1$'dir.
Asal çarpan $5$ için: $120$'de $5^1$, $150$'de $5^2$ var. En küçük üs $5^1$'dir.
Bu durumda EBOB$(120, 150) = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 2 \times 3 \times 5 = 30$ olur.
Bulduğumuz EBOB değeri olan $30$, eş kare parsellerden birinin kenar uzunluğunun en fazla $30 \text{ cm}$ olabileceği anlamına gelir. Bu durumda, $120 \text{ cm}$'lik kenara $120/30 = 4$ tane, $150 \text{ cm}$'lik kenara ise $150/30 = 5$ tane kare parsel sığar. Toplamda $4 \times 5 = 20$ adet eş kare parsel elde ederiz.
Cevap C seçeneğidir.
