Bir $ABC$ üçgeninde $a=4$ cm, $b=6$ cm ve $m(\widehat{A}) = 30^\circ$ olduğuna göre, $\sin B$ değeri kaçtır?
A) $3/4$
B) $1/2$
C) $2/3$
D) $1/3$
E) $4/3$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir üçgende kenar uzunlukları ve bir açının ölçüsü verildiğinde, başka bir açının sinüs değerini bulmamız isteniyor. Bu tür problemler için en uygun araç, Sinüs Teoremi'dir.
- 1. Adım: Sinüs Teoremi'ni Hatırlayalım
- Sinüs Teoremi, bir üçgende her kenarın uzunluğunun, o kenarın karşısındaki açının sinüsüne oranının sabit olduğunu söyler. Yani, bir $ABC$ üçgeninde kenar uzunlukları $a, b, c$ ve bu kenarların karşısındaki açılar sırasıyla $A, B, C$ ise, aşağıdaki eşitlik geçerlidir:
- $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
- 2. Adım: Verilen Bilgileri Teoremde Yerine Yazalım
- Soruda bize verilen bilgiler şunlardır:
- $a = 4$ cm (A açısının karşısındaki kenar)
- $b = 6$ cm (B açısının karşısındaki kenar)
- $m(\widehat{A}) = 30^\circ$
- Bizden istenen ise $\sin B$ değeridir. Sinüs Teoremi'nin ilgili kısmını kullanarak bir denklem oluşturalım:
- $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$
- Şimdi verilen değerleri yerine yazalım:
- $\frac{4}{\sin 30^\circ} = \frac{6}{\sin B}$
- 3. Adım: $\sin 30^\circ$ Değerini Kullanalım
- Trigonometriden bildiğimiz üzere, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$'dir. Bu değeri denklemde yerine koyalım:
- $\frac{4}{1/2} = \frac{6}{\sin B}$
- 4. Adım: Denklemi Çözerek $\sin B$ Değerini Bulalım
- Denklemin sol tarafını hesaplayalım:
- $\frac{4}{1/2} = 4 \times 2 = 8$
- Şimdi denklemimiz şu hale geldi:
- $8 = \frac{6}{\sin B}$
- $\sin B$ değerini bulmak için içler dışlar çarpımı yapalım:
- $8 \times \sin B = 6$
- Her iki tarafı 8'e bölelim:
- $\sin B = \frac{6}{8}$
- Kesri sadeleştirelim (hem payı hem paydayı 2'ye bölelim):
- $\sin B = \frac{3}{4}$
Böylece $\sin B$ değerini $3/4$ olarak bulmuş olduk.
Cevap A seçeneğidir.
