10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 5. senaryo Test 1

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\hat{A}) = 45^\circ$, $m(\hat{B}) = 60^\circ$ ve $|BC| = 6\sqrt{2}$ birimdir. Buna göre $|AC|$ kenarının uzunluğu kaç birimdir?

A) $6$
B) $6\sqrt{3}$
C) $8$
D) $8\sqrt{2}$
E) $12$

Üçgenin iç açılarının toplamı 180 derece olduğundan, öncelikle $\hat{C}$ açısını bulalım:

• $m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ$
• $45^\circ + 60^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ$
• $m(\hat{C}) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$

Şimdi Sinüs Teoremi'ni kullanarak $|AC|$ kenarının uzunluğunu bulabiliriz. Sinüs Teoremi, bir üçgenin kenar uzunluklarının karşılarındaki açıların sinüsleri ile orantılı olduğunu söyler. Yani:

• $\frac{|BC|}{\sin(\hat{A})} = \frac{|AC|}{\sin(\hat{B})}$

Verilenleri yerine koyalım:

• $\frac{6\sqrt{2}}{\sin(45^\circ)} = \frac{|AC|}{\sin(60^\circ)}$

$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ve $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ olduğunu biliyoruz. Bunları yerine yazalım:

• $\frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{|AC|}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Şimdi denklemi $|AC|$ için çözelim:

• $6\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = |AC| \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$
• $12 = |AC| \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$
• $|AC| = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $|AC| = 6\sqrt{3}$

Dolayısıyla $|AC|$ kenarının uzunluğu $6\sqrt{3}$ birimdir.

Cevap B seçeneğidir.