10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 5. senaryo Test 1

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 7$ birim, $|AC| = 8$ birim ve $|BC| = 13$ birimdir. Buna göre $\cos(\hat{A})$ değeri kaçtır?

A) $-1/2$
B) $-1/4$
C) $1/4$
D) $1/2$
E) $3/4$

Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek kosinüs teoremini nasıl uygulayacağımızı öğreneceğiz.

• Adım 1: Kosinüs Teoremini Hatırlayalım

Bir $ABC$ üçgeninde, $a$, $b$ ve $c$ kenar uzunlukları ve $\hat{A}$, $\hat{B}$ ve $\hat{C}$ açılarının ölçüleri olmak üzere, kosinüs teoremi aşağıdaki gibi ifade edilir:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\hat{A})$

Bu teorem, bir üçgenin kenar uzunlukları ile bir açısının kosinüsü arasındaki ilişkiyi gösterir.

• Adım 2: Verilenleri Yerine Koyalım

Soruda verilenleri kullanarak, $a = |BC| = 13$, $b = |AC| = 8$ ve $c = |AB| = 7$ olduğunu biliyoruz. Şimdi bu değerleri kosinüs teoremi formülünde yerine koyalım:

$13^2 = 8^2 + 7^2 - 2 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \cos(\hat{A})$

• Adım 3: Denklemi Basitleştirelim

Şimdi denklemi basitleştirelim:

$169 = 64 + 49 - 112 \cdot \cos(\hat{A})$

$169 = 113 - 112 \cdot \cos(\hat{A})$

• Adım 4: $\cos(\hat{A})$'yı Bulalım

$\cos(\hat{A})$'yı bulmak için denklemi düzenleyelim:

$169 - 113 = -112 \cdot \cos(\hat{A})$

$56 = -112 \cdot \cos(\hat{A})$

$\cos(\hat{A}) = \frac{56}{-112}$

$\cos(\hat{A}) = -\frac{1}{2}$

Böylece $\cos(\hat{A})$ değerini $-\frac{1}{2}$ olarak bulduk.

Cevap A seçeneğidir.