Merhaba arkadaşlar, bu soruyu çözerken modüler aritmetik konusundan faydalanacağız. Modüler aritmetik, bir sayının başka bir sayıya bölümünden kalanı bulmakla ilgilenir. Bu soruda $7^{2023}$ sayısının 5 ile bölümünden kalanı bulmamız isteniyor.
- Adım 1: Öncelikle 7'nin 5 ile bölümünden kalanı bulalım. $7 \equiv 2 \pmod{5}$ (7'nin 5 ile bölümünden kalan 2'dir).
- Adım 2: Şimdi $7^{2023}$ yerine $2^{2023}$'ü inceleyebiliriz, çünkü $7^{2023} \equiv 2^{2023} \pmod{5}$.
- Adım 3: $2$'nin kuvvetlerinin 5 ile bölümünden kalanlarını inceleyelim:
- $2^1 \equiv 2 \pmod{5}$
- $2^2 \equiv 4 \pmod{5}$
- $2^3 \equiv 8 \equiv 3 \pmod{5}$
- $2^4 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{5}$
- Adım 4: Kalanların tekrar ettiğini görüyoruz. $2^4 \equiv 1 \pmod{5}$ olması, her 4'te bir kalanın 1 olacağı anlamına gelir. Bu durumu kullanmak için 2023'ü 4'e bölelim.
- Adım 5: $2023 = 4 \cdot 505 + 3$. Yani $2^{2023} = 2^{4 \cdot 505 + 3} = (2^4)^{505} \cdot 2^3$.
- Adım 6: Modüler aritmetik kurallarını kullanarak: $(2^4)^{505} \cdot 2^3 \equiv (1)^{505} \cdot 2^3 \pmod{5}$.
- Adım 7: Bu da $1 \cdot 2^3 \equiv 8 \pmod{5}$ demektir.
- Adım 8: Son olarak $8 \equiv 3 \pmod{5}$. Yani $7^{2023}$'ün 5 ile bölümünden kalan 3'tür.
Cevap C seçeneğidir.
