10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 6. senaryo Test 3

$f(x) = 2x+1$ ve $g(x) = x-3$ fonksiyonları veriliyor. $(f \circ g)(x)$ fonksiyonunun tersi olan $(f \circ g)^{-1}(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\frac{x+5}{2}$
B) $\frac{x-5}{2}$
C) $2x+5$
D) $2x-5$
E) $\frac{x+7}{2}$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, fonksiyonlarla ilgili önemli bir konuyu, bileşke fonksiyonun tersini bulmayı adım adım öğreneceğiz. Bu tür soruları çözerken dikkatli ve sistemli olmak çok önemlidir. Haydi başlayalım!

• Adım 1: Bileşke Fonksiyonu $(f \circ g)(x)$'i Bulma

  İlk olarak, $f(x)$ ve $g(x)$ fonksiyonlarını kullanarak $(f \circ g)(x)$ bileşke fonksiyonunu bulmalıyız. Bileşke fonksiyon, bir fonksiyonun içine diğerini yazmak anlamına gelir. Yani, $f(g(x))$'i hesaplayacağız.

  • Verilen fonksiyonlar: $f(x) = 2x+1$ ve $g(x) = x-3$.
  • $f(g(x))$'i bulmak için, $f(x)$ fonksiyonundaki her $x$ yerine $g(x)$'i yazıyoruz:
  • $f(g(x)) = 2(g(x)) + 1$
  • Şimdi $g(x)$'in ifadesini yerine koyalım:
  • $f(g(x)) = 2(x-3) + 1$
  • Parantezi dağıtalım:
  • $f(g(x)) = 2x - 6 + 1$
  • Sonuç olarak, bileşke fonksiyonumuz:
  • $(f \circ g)(x) = 2x - 5$
• Adım 2: Bileşke Fonksiyonun Tersi $(f \circ g)^{-1}(x)$'i Bulma

  Bir fonksiyonun tersini bulmak için, fonksiyonu $y$ olarak ifade ederiz, sonra $x$ ve $y$ değişkenlerinin yerini değiştiririz ve son olarak $y$'yi yalnız bırakırız. Bu $y$ değeri, fonksiyonun tersi olacaktır.

  • Bileşke fonksiyonumuz $(f \circ g)(x) = 2x - 5$ idi. Bunu $y$ olarak yazalım:
  • $y = 2x - 5$
  • Şimdi $x$ ve $y$ değişkenlerinin yerini değiştirelim:
  • $x = 2y - 5$
  • Amacımız $y$'yi yalnız bırakmak. Bunun için önce $-5$'i eşitliğin diğer tarafına atalım:
  • $x + 5 = 2y$
  • Şimdi her iki tarafı $2$'ye bölelim:
  • $y = \frac{x+5}{2}$
  • Böylece, $(f \circ g)(x)$ fonksiyonunun tersi olan $(f \circ g)^{-1}(x)$'i bulmuş olduk:
  • $(f \circ g)^{-1}(x) = \frac{x+5}{2}$

Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap A seçeneğidir.