Bir şekil örüntüsünde 1. adımda 3 kare, 2. adımda 7 kare, 3. adımda 11 kare bulunmaktadır. Bu örüntüde 10. adımda kaç kare olur?
A) 39Bu tür sorular, belirli bir kurala göre ilerleyen sayı veya şekil dizilerini anlamamızı ve gelecekteki adımları tahmin etmemizi gerektiren örüntü problemleridir. Şimdi sorumuzu adım adım inceleyelim:
Şimdi her adımda kare sayısının nasıl değiştiğine bakalım:
Görüyoruz ki, her adımda kare sayısı sabit bir şekilde $4$ artmaktadır. Bu sabit artış miktarına "ortak fark" denir ve bu tür örüntülere "aritmetik örüntü" adı verilir. Ortak farkımız $d = 4$'tür.
Bir aritmetik örüntünün genel kuralı, yani herhangi bir $n$. adımdaki terimini bulmak için kullanılan formül şöyledir:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
Burada:
Şimdi bu değerleri formülde yerine yazalım:
$a_n = 3 + (n-1) \times 4$
Bu ifadeyi daha anlaşılır hale getirmek için düzenleyelim:
$a_n = 3 + 4n - 4$
$a_n = 4n - 1$
Bu formül, örüntünün herhangi bir adımındaki kare sayısını bulmamızı sağlar. Örneğin, $n=1$ için $a_1 = 4(1) - 1 = 3$, $n=2$ için $a_2 = 4(2) - 1 = 7$ olduğunu görebiliriz.
Bizden 10. adımdaki kare sayısı isteniyor. Bu durumda, genel kuralımız olan $a_n = 4n - 1$ formülünde $n$ yerine $10$ yazmalıyız:
$a_{10} = 4 \times 10 - 1$
$a_{10} = 40 - 1$
$a_{10} = 39$
Buna göre, örüntünün 10. adımında $39$ kare bulunur.
İsterseniz, adımları tek tek yazarak da kontrol edebiliriz:
Gördüğümüz gibi, formülle bulduğumuz sonuç ile adım adım ilerleyerek bulduğumuz sonuç aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
