$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) x = 2'de süreklidir
B) x = 2'de limiti yoktur
C) x = 2'de tanımsızdır ancak limiti vardır
D) x = 2'de hem tanımsızdır hem de limiti yoktur
E) Her x değeri için süreklidir
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, verilen bir fonksiyonun belirli bir noktadaki özelliklerini (tanımlılık, limit, süreklilik) incelememiz isteniyor. Fonksiyonumuz $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$. İnceleyeceğimiz nokta ise $x = 2$.
- Adım 1: Fonksiyonun $x = 2$ noktasında tanımlı olup olmadığını kontrol edelim.
- Bir rasyonel fonksiyonun (kesirli ifade) tanımsız olduğu noktalar, paydanın sıfır olduğu noktalardır.
- Fonksiyonumuzun paydası $x - 2$'dir.
- Paydayı sıfıra eşitlediğimizde: $x - 2 = 0 \implies x = 2$.
- Bu durumda, $x = 2$ noktasında fonksiyonun paydası sıfır olduğu için $f(2)$ değeri tanımsızdır.
- Bu bilgiye göre A ve E seçenekleri doğrudan elenir, çünkü süreklilik için fonksiyonun o noktada tanımlı olması şarttır. C ve D seçenekleri ise "tanımsızdır" ifadesini içerdiği için hala değerlendirilebilir.
- Adım 2: Fonksiyonun $x = 2$ noktasında limitinin olup olmadığını kontrol edelim.
- $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ limitini hesaplamamız gerekiyor.
- Eğer $x = 2$ değerini doğrudan yerine koyarsak, $\frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{4 - 4}{0} = \frac{0}{0}$ belirsizliğini elde ederiz.
- Belirsizlik durumlarında, ifadeyi sadeleştirmeye çalışırız. Pay kısmındaki $x^2 - 4$ ifadesi iki kare farkı özdeşliğidir: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
- Yani, $x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$ şeklinde çarpanlarına ayrılabilir.
- Şimdi fonksiyonu yeniden yazalım: $f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$.
- $x \neq 2$ olduğu sürece $(x - 2)$ terimlerini sadeleştirebiliriz (limit alırken $x$ tam olarak $2$ olmaz, sadece $2$'ye çok yaklaşır).
- Bu durumda, $x \neq 2$ için $f(x) = x + 2$ olur.
- Şimdi limiti tekrar hesaplayalım: $\lim_{x \to 2} (x + 2)$.
- $x = 2$ değerini yerine koyduğumuzda: $2 + 2 = 4$.
- Yani, fonksiyonun $x = 2$ noktasında limiti vardır ve bu limit $4$'tür.
- Adım 3: Elde ettiğimiz sonuçları seçeneklerle karşılaştıralım.
- Fonksiyon $x = 2$ noktasında tanımsızdır.
- Fonksiyonun $x = 2$ noktasında limiti vardır ve $4$'tür.
- Şimdi seçenekleri inceleyelim:
- A) $x = 2$'de süreklidir: Yanlış, çünkü tanımsızdır.
- B) $x = 2$'de limiti yoktur: Yanlış, limiti $4$'tür.
- C) $x = 2$'de tanımsızdır ancak limiti vardır: Doğru, bulduğumuz sonuçlarla birebir uyuşmaktadır.
- D) $x = 2$'de hem tanımsızdır hem de limiti yoktur: Yanlış, limiti vardır.
- E) Her $x$ değeri için süreklidir: Yanlış, $x = 2$'de tanımsızdır.
Bu analizler sonucunda, doğru seçeneğin C olduğunu görüyoruz.
Cevap C seçeneğidir.
