Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, logaritmik bir fonksiyonun türevini bulacağız. Özellikle, iç içe geçmiş fonksiyonların türevini alırken kullandığımız Zincir Kuralı'nı uygulayacağız. Haydi adım adım ilerleyelim:
- Öncelikle, türevini almamız gereken fonksiyonu hatırlayalım: $f(x) = \ln(x^2 + 1)$.
- Bu fonksiyon, bir dış fonksiyon ($\ln(u)$) ve bir iç fonksiyon ($u = x^2 + 1$) olmak üzere iki parçadan oluşur. Zincir Kuralı'nı kullanmak için bu ayrımı yapmak çok önemlidir.
- Zincir Kuralı der ki: Eğer $f(x) = g(h(x))$ ise, $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$'tir. Yani, dış fonksiyonun türevini alırken iç fonksiyonu olduğu gibi bırakırız ve sonra iç fonksiyonun türevi ile çarparız.
- Şimdi bu kuralı fonksiyonumuza uygulayalım:
- Dış fonksiyonumuz $\ln(u)$'dur. Bu fonksiyonun $u$'ya göre türevi $\frac{d}{du}(\ln(u)) = \frac{1}{u}$'dur.
- İç fonksiyonumuz $h(x) = x^2 + 1$'dir. Bu fonksiyonun $x$'e göre türevi $h'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1)$'dir.
- $x^2$'nin türevi $2x$ ve sabit sayı $1$'in türevi $0$ olduğundan, iç fonksiyonun türevi $h'(x) = 2x + 0 = 2x$'tir.
- Şimdi Zincir Kuralı'nı uygulayalım: Dış fonksiyonun türevinde $u$ yerine iç fonksiyonu ($x^2 + 1$) yazacağız ve bunu iç fonksiyonun türevi ($2x$) ile çarpacağız.
- Yani, $f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x)$ olacaktır.
- Bu ifadeyi düzenlersek, $f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ sonucunu elde ederiz.
- Şimdi bulduğumuz bu sonucu seçeneklerle karşılaştıralım. Görüyoruz ki bu ifade B seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap B seçeneğidir.
