12. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 4. senaryo meb Test 1

$f(x) = \sin(2x)$ fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\cos(2x)$
B) $2\cos(2x)$
C) $\sin(x)$
D) $-\cos(2x)$
E) $-2\sin(2x)$

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda $f(x) = \sin(2x)$ fonksiyonunun türevini bulmamız isteniyor. Bu tür fonksiyonların türevini alırken "zincir kuralı"nı kullanmamız gerekir. Şimdi adım adım bu kuralı uygulayalım:

• Adım 1: Fonksiyonu Tanıyalım

  Bize verilen fonksiyon $f(x) = \sin(2x)$'tir. Bu fonksiyon, bir dış fonksiyon ($\sin$) ve bir iç fonksiyon ($2x$) olmak üzere iki kısımdan oluşur. Bu yapıyı gördüğümüzde aklımıza hemen zincir kuralı gelmelidir.

• Adım 2: Zincir Kuralını Hatırlayalım

  Zincir kuralı der ki: Eğer bir fonksiyon $y = f(g(x))$ şeklinde ise, yani bir fonksiyonun içinde başka bir fonksiyon varsa, türevi $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ şeklinde bulunur. Kısacası, önce dıştaki fonksiyonun türevini alırız (içteki fonksiyonu değiştirmeden bırakırız), sonra bu sonucu içteki fonksiyonun türeviyle çarparız.

• Adım 3: Dış ve İç Fonksiyonları Belirleyelim

  Bizim $f(x) = \sin(2x)$ fonksiyonumuz için:

  • Dış fonksiyon: $\sin(u)$ (burada $u$ iç fonksiyonu temsil eden bir yer tutucudur).
  • İç fonksiyon: $g(x) = 2x$.
• Adım 4: Dış Fonksiyonun Türevini Alalım

  Dış fonksiyon $\sin(u)$'nun türevi $\cos(u)$'dur. Zincir kuralına göre, bu türevi iç fonksiyonu değiştirmeden yazarız:

  • $\frac{d}{du}(\sin(u)) = \cos(u)$
  • Bunu $g(x)$ ile birleştirirsek: $\cos(2x)$
• Adım 5: İç Fonksiyonun Türevini Alalım

  Şimdi iç fonksiyonumuz olan $g(x) = 2x$'in türevini alalım:

  • $\frac{d}{dx}(2x) = 2$
• Adım 6: Zincir Kuralını Uygulayalım

  Son olarak, Adım 4'te bulduğumuz dış fonksiyonun türevi ile Adım 5'te bulduğumuz iç fonksiyonun türevini çarpalım:

  • $f'(x) = (\text{dış fonksiyonun türevi}) \cdot (\text{iç fonksiyonun türevi})$
  • $f'(x) = \cos(2x) \cdot 2$
  • $f'(x) = 2\cos(2x)$
• Adım 7: Seçeneklerle Karşılaştıralım

  Bulduğumuz sonuç $2\cos(2x)$'tir. Seçeneklere baktığımızda, bu ifade B seçeneğinde yer almaktadır.

Cevap B seçeneğidir.