fonksiyonların nitel özellikleri Test 1

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi tek fonksiyondur?

A) $f(x) = x^2 + 1$
B) $f(x) = x^4$
C) $f(x) = x^3$
D) $f(x) = |x|$

Bir fonksiyonun tek fonksiyon olup olmadığını anlamak için, tek fonksiyon tanımını bilmemiz gerekir.

• Tek Fonksiyon Tanımı: Bir $f(x)$ fonksiyonunun tek fonksiyon olması için, tanım kümesindeki her $x$ değeri için $f(-x) = -f(x)$ eşitliğini sağlaması gerekir. Bu, fonksiyonun orijine göre simetrik olduğu anlamına gelir.

Şimdi verilen seçenekleri bu tanıma göre adım adım inceleyelim:

• A) $f(x) = x^2 + 1$

  Önce $f(-x)$ değerini bulalım: $f(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1$.

  Şimdi $-f(x)$ değerini bulalım: $-f(x) = -(x^2 + 1) = -x^2 - 1$.

  Gördüğümüz gibi, $f(-x) = x^2 + 1$ iken $-f(x) = -x^2 - 1$. Bu iki ifade birbirine eşit değildir ($f(-x) \neq -f(x)$). Dolayısıyla, $f(x) = x^2 + 1$ tek fonksiyon değildir. (Bu fonksiyon, $f(-x) = f(x)$ eşitliğini sağladığı için aslında bir çift fonksiyondur.)

• B) $f(x) = x^4$

  Önce $f(-x)$ değerini bulalım: $f(-x) = (-x)^4 = x^4$.

  Şimdi $-f(x)$ değerini bulalım: $-f(x) = -(x^4) = -x^4$.

  Gördüğümüz gibi, $f(-x) = x^4$ iken $-f(x) = -x^4$. Bu iki ifade birbirine eşit değildir ($f(-x) \neq -f(x)$). Dolayısıyla, $f(x) = x^4$ tek fonksiyon değildir. (Bu da bir çift fonksiyondur.)

• C) $f(x) = x^3$

  Önce $f(-x)$ değerini bulalım: $f(-x) = (-x)^3 = -x^3$.

  Şimdi $-f(x)$ değerini bulalım: $-f(x) = -(x^3) = -x^3$.

  Gördüğümüz gibi, $f(-x) = -x^3$ ve $-f(x) = -x^3$. Bu iki ifade birbirine eşittir ($f(-x) = -f(x)$). Dolayısıyla, $f(x) = x^3$ tek fonksiyondur.

• D) $f(x) = |x|$

  Önce $f(-x)$ değerini bulalım: $f(-x) = |-x| = |x|$.

  Şimdi $-f(x)$ değerini bulalım: $-f(x) = -|x|$.

  Gördüğümüz gibi, $f(-x) = |x|$ iken $-f(x) = -|x|$. Bu iki ifade birbirine eşit değildir ($f(-x) \neq -f(x)$). Dolayısıyla, $f(x) = |x|$ tek fonksiyon değildir. (Bu da bir çift fonksiyondur.)

Yapılan incelemeler sonucunda, sadece $f(x) = x^3$ fonksiyonunun tek fonksiyon tanımını sağladığı görülmüştür.

Cevap C seçeneğidir.