$f(x) = \begin{cases} ax + 1, & x < 1 \\ x^2 - 1, & x \geq 1 \end{cases}$ fonksiyonunun $x = 1$ noktasında sürekli olması için $a$ ne olmalıdır?
A) -3
B) -2
C) -1
D) 0
E) 1
Bir fonksiyonun belirli bir noktada sürekli olabilmesi için üç temel koşulu sağlaması gerekir:
- Fonksiyonun o noktadaki değeri tanımlı olmalıdır.
- Fonksiyonun o noktadaki sol limiti var olmalıdır.
- Fonksiyonun o noktadaki sağ limiti var olmalıdır.
- Bu üç değer (fonksiyonun değeri, sol limit ve sağ limit) birbirine eşit olmalıdır.
Verilen fonksiyon $f(x) = \begin{cases} ax + 2, & x < 1 \\ x^2 - 1, & x \geq 1 \end{cases}$ şeklindedir ve bizden $x = 1$ noktasında sürekli olması için $a$ değerini bulmamız isteniyor.
Şimdi bu koşulları adım adım inceleyelim:
- 1. Adım: Fonksiyonun $x=1$ noktasındaki değerini bulalım ($f(1)$).
- $x=1$ için fonksiyonun ikinci parçasını kullanırız ($x \geq 1$ koşulu).
- $f(1) = 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0$.
- Yani, $f(1) = 0$.
- 2. Adım: Fonksiyonun $x=1$ noktasındaki sol limitini bulalım ($\lim_{x \to 1^-} f(x)$).
- $x < 1$ için fonksiyonun birinci parçasını kullanırız ($ax + 2$).
- $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (ax + 2)$.
- $x$ yerine $1$ yazarsak, sol limit $a(1) + 2 = a + 2$ olur.
- Yani, $\lim_{x \to 1^-} f(x) = a + 2$.
- 3. Adım: Fonksiyonun $x=1$ noktasındaki sağ limitini bulalım ($\lim_{x \to 1^+} f(x)$).
- $x \geq 1$ için fonksiyonun ikinci parçasını kullanırız ($x^2 - 1$).
- $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2 - 1)$.
- $x$ yerine $1$ yazarsak, sağ limit $1^2 - 1 = 1 - 1 = 0$ olur.
- Yani, $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 0$.
- 4. Adım: Süreklilik koşulunu uygulayalım.
- Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için o noktadaki sol limiti, sağ limiti ve fonksiyon değeri birbirine eşit olmalıdır.
- Yani, $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$ olmalıdır.
- Bulduğumuz değerleri yerine yazarsak: $a + 2 = 0 = 0$.
- Bu eşitlikten $a + 2 = 0$ denklemini elde ederiz.
- Denklemi çözdüğümüzde $a = -2$ sonucunu buluruz.
Bu durumda, fonksiyonun $x=1$ noktasında sürekli olması için $a$ değerinin $-2$ olması gerekir.
Cevap B seçeneğidir.
