Merhaba sevgili öğrenciler!
Bir fonksiyonun çift fonksiyon olup olmadığını anlamak için belirli bir tanımı kullanırız. Bu tanımı adım adım inceleyelim ve verilen fonksiyon için uygulayalım.
- Çift Fonksiyon Tanımı: Bir $f(x)$ fonksiyonunun çift fonksiyon olabilmesi için, tanım kümesindeki her $x$ değeri için $f(-x) = f(x)$ eşitliğini sağlaması gerekir. Başka bir deyişle, fonksiyonda $x$ yerine $-x$ yazdığımızda fonksiyonun kendisi değişmiyorsa, o fonksiyon çift fonksiyondur. Çift fonksiyonların grafikleri y-eksenine göre simetriktir.
- Verilen Fonksiyonu İnceleyelim: Bize verilen fonksiyon $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$. Şimdi bu fonksiyonda $x$ yerine $-x$ yazarak $f(-x)$'i bulalım.
- $f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 1$
- Üslü ifadelerin özelliklerini hatırlayalım: Negatif bir sayının çift kuvveti pozitif olur. Yani, $(-x)^4 = x^4$ ve $(-x)^2 = x^2$.
- Bu bilgileri yerine yazarsak:
- $f(-x) = x^4 - 2x^2 + 1$
- Şimdi $f(-x)$ ile orijinal $f(x)$ fonksiyonunu karşılaştıralım:
- $f(-x) = x^4 - 2x^2 + 1$
- $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$
- Gördüğümüz gibi, $f(-x)$ ifadesi tam olarak $f(x)$ ifadesine eşittir. Yani, $f(-x) = f(x)$ eşitliği sağlanmaktadır. Bu da $f(x)$ fonksiyonunun bir çift fonksiyon olduğunu gösterir.
- Seçenekleri Değerlendirelim:
- A) $f(-x) = f(x)$: Bu, çift fonksiyonun tanımının kendisidir ve bizim fonksiyonumuz bu koşulu sağlamaktadır.
- B) $f(-x) = -f(x)$: Bu, tek fonksiyonun tanımıdır. Eğer fonksiyon bu koşulu sağlasaydı, tek fonksiyon olurdu.
- C) $f(x) = f(1/x)$: Bu, özel bir fonksiyonel denklemdir ve çift fonksiyon tanımıyla doğrudan ilgili değildir.
- D) $f(x) = -f(1/x)$: Bu da özel bir fonksiyonel denklemdir ve çift fonksiyon tanımıyla ilgili değildir.
- E) $f(x) = 0$: Bu, fonksiyonun her zaman sıfır olduğu anlamına gelir. Sıfır fonksiyonu hem çift hem de tek fonksiyondur, ancak genel olarak bir fonksiyonun çift olduğunu gösteren tanım bu değildir.
Bu adımları takip ederek, $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$ fonksiyonunun çift fonksiyon olduğunu gösteren ifadenin $f(-x) = f(x)$ olduğunu buluruz.
Cevap A seçeneğidir.
