12. sınıf diziler soruları ve çözümleri Test 1

Bir geometrik dizinin ilk 3 terimi sırasıyla 2, 6, 18 ise, bu dizinin ilk 6 teriminin toplamı kaçtır?

A) 182
B) 364
C) 728
D) 1092
E) 2186

Merhaba sevgili öğrenciler! Geometrik dizilerle ilgili bu soruyu adım adım çözelim ve doğru cevaba ulaşalım.

• Adım 1: Ortak Çarpanı Bulma

Geometrik bir dizide, her terim bir önceki terimin sabit bir sayıyla çarpılmasıyla elde edilir. Bu sabite "ortak çarpan" denir. Ortak çarpanı (r) bulmak için, herhangi bir terimi bir önceki terime bölebiliriz.

Bu dizide, ikinci terim 6 ve ilk terim 2 olduğuna göre, ortak çarpan:

$r = \frac{6}{2} = 3$'tür.

Aynı şekilde, üçüncü terim 18 ve ikinci terim 6 olduğuna göre:

$r = \frac{18}{6} = 3$'tür.

Gördüğümüz gibi, ortak çarpanımız 3'tür.

• Adım 2: İlk 6 Terimi Bulma

İlk terimimiz 2 ve ortak çarpanımız 3 olduğuna göre, ilk 6 terimi bulabiliriz:

• 1. Terim: 2
• 2. Terim: $2 \cdot 3 = 6$
• 3. Terim: $6 \cdot 3 = 18$
• 4. Terim: $18 \cdot 3 = 54$
• 5. Terim: $54 \cdot 3 = 162$
• 6. Terim: $162 \cdot 3 = 486$

Yani dizinin ilk 6 terimi: 2, 6, 18, 54, 162, 486'dır.

• Adım 3: İlk 6 Terimin Toplamını Bulma

Şimdi bu terimleri toplayalım:

$2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728$'dir.

• Adım 4: Formülle Kontrol (İsteğe Bağlı)

Geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı için bir formülümüz var:

$S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$

Burada $S_n$ ilk n terimin toplamı, $a_1$ ilk terim, r ortak çarpan ve n terim sayısıdır.

Bu soruda, $a_1 = 2$, $r = 3$ ve $n = 6$. O halde:

$S_6 = \frac{2(3^6 - 1)}{3 - 1} = \frac{2(729 - 1)}{2} = 728$'dir.

Formülle de aynı sonucu bulduk!

Bu nedenle, geometrik dizinin ilk 6 teriminin toplamı 728'dir.

Cevap C seçeneğidir.