Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir polinomdur?
A) $f(x) = x^3 - 2x + 1$
B) $g(x) = x^2 + \frac{1}{x}$
C) $h(x) = \sqrt{x} + x - 3$
D) $k(x) = |x| + 2x$
E) $l(x) = x^{-2} + 5x$
Bir ifadenin polinom olup olmadığını anlamak için, polinomun temel tanımını hatırlamamız gerekir.
- Polinom Nedir? Bir polinom, değişkenlerin sadece toplama, çıkarma, çarpma ve negatif olmayan tam sayı kuvvetlerini içeren bir cebirsel ifadedir. Yani, bir polinomda değişkenin üssü (kuvveti) asla negatif bir tam sayı, kesirli bir sayı (köklü ifade) olamaz ve değişken mutlak değer içinde veya paydada bulunamaz.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $f(x) = x^3 - 2x + 1$: Bu ifadede, $x$'in kuvvetleri sırasıyla $3$, $1$ ve $0$ (sabit terim $1 = 1 \cdot x^0$) şeklindedir. Tüm kuvvetler pozitif tam sayılar veya sıfırdır. Bu ifade, polinom tanımına tamamen uymaktadır.
- B) $g(x) = x^2 + \frac{1}{x}$: Bu ifadede $\frac{1}{x}$ terimi, $x^{-1}$ olarak yazılabilir. Burada $x$'in kuvveti $-1$'dir, ki bu negatif bir tam sayıdır. Polinom tanımına göre değişkenin kuvveti negatif olamaz. Bu nedenle $g(x)$ bir polinom değildir.
- C) $h(x) = \sqrt{x} + x - 3$: Bu ifadede $\sqrt{x}$ terimi, $x^{1/2}$ olarak yazılabilir. Burada $x$'in kuvveti $1/2$'dir, ki bu bir kesirli sayıdır (tam sayı değildir). Polinom tanımına göre değişkenin kuvveti kesirli olamaz. Bu nedenle $h(x)$ bir polinom değildir.
- D) $k(x) = |x| + 2x$: Bu ifadede $|x|$ terimi bulunmaktadır. Polinomlar, değişkenlerin mutlak değerini içermezler. Bu nedenle $k(x)$ bir polinom değildir.
- E) $l(x) = x^{-2} + 5x$: Bu ifadede $x^{-2}$ terimi bulunmaktadır. Burada $x$'in kuvveti $-2$'dir, ki bu negatif bir tam sayıdır. Polinom tanımına göre değişkenin kuvveti negatif olamaz. Bu nedenle $l(x)$ bir polinom değildir.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece A) $f(x) = x^3 - 2x + 1$ ifadesinin polinom tanımına uyduğunu görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
