AYT Polinomlar: Kaç Soru Çıkıyor? Soru Dağılımı ve Analizi Test 1

Aşağıdakilerden hangisi bir polinomdur?

A) $f(x) = x^3 + 2x - \frac{1}{x}$
B) $f(x) = \sqrt{x} + x + 1$
C) $f(x) = x^4 - 3x^2 + 5$
D) $f(x) = |x| + 2x - 1$
E) $f(x) = 2^x + x - 3$

Bir fonksiyonun polinom olabilmesi için, $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ şeklinde yazılabilmesi gerekir. Burada:

• $a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0$ katsayıları birer reel sayı olmalıdır.
• $n$ (polinomun derecesi) ve $x$'in tüm kuvvetleri (üsleri) birer negatif olmayan tam sayı ($0, 1, 2, 3, \dots$) olmalıdır.
• Yani, $x$ değişkeni kök içinde ($\sqrt{x}$ gibi), paydada ($\frac{1}{x}$ gibi), mutlak değer içinde ($|x|$ gibi) veya üs olarak ($2^x$ gibi) bulunmamalıdır.

Şimdi seçenekleri inceleyelim:

• A) $f(x) = x^3 + 2x - \frac{1}{x}$

  Bu ifadede $-\frac{1}{x}$ terimi, $-x^{-1}$ olarak yazılabilir. $x$'in kuvveti olan $-1$ negatif bir tam sayı olduğu için bu ifade bir polinom değildir.

• B) $f(x) = \sqrt{x} + x + 1$

  Bu ifadede $\sqrt{x}$ terimi, $x^{\frac{1}{2}}$ olarak yazılabilir. $x$'in kuvveti olan $\frac{1}{2}$ bir tam sayı olmadığı (kesirli olduğu) için bu ifade bir polinom değildir.

• C) $f(x) = x^4 - 3x^2 + 5$

  Bu ifadede $x$'in kuvvetleri $4$, $2$ ve $0$ (çünkü $5 = 5x^0$) şeklindedir. Tüm bu kuvvetler negatif olmayan tam sayılardır. Katsayılar ($1$, $-3$, $5$) reel sayılardır. Bu nedenle, bu ifade bir polinomdur.

• D) $f(x) = |x| + 2x - 1$

  Bu ifadede $|x|$ terimi bulunmaktadır. Polinomlar mutlak değer fonksiyonu içermezler. Bu nedenle, bu ifade bir polinom değildir.

• E) $f(x) = 2^x + x - 3$

  Bu ifadede $2^x$ terimi bulunmaktadır. $x$ değişkeni üs olarak yer aldığı için bu bir üstel fonksiyondur, bir polinom değildir.

Yukarıdaki incelemelere göre, sadece C seçeneğindeki fonksiyon polinomun tanımına uymaktadır.

Cevap C seçeneğidir.