$f(x) = \sqrt{x-4} + \frac{1}{x-6}$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) $[4, \infty)$
B) $(4, \infty) \setminus \{6\}$
C) $[4, 6) \cup (6, \infty)$
D) $(- \infty, 4] \cup (6, \infty)$
E) $[4, 6]$
Bir fonksiyonun en geniş tanım kümesini bulmak için, fonksiyonu oluşturan her bir ifadenin tanımlı olduğu koşulları ayrı ayrı incelememiz ve bu koşulların hepsini aynı anda sağlayan $x$ değerlerini belirlememiz gerekir.
Verilen fonksiyon $f(x) = \sqrt{x-4} + \frac{1}{x-6}$ şeklindedir. Bu fonksiyon iki ana kısımdan oluşmaktadır:
- Birinci Kısım: Karekök İfadesi
- $\sqrt{x-4}$ ifadesinin gerçel sayılarda tanımlı olabilmesi için, karekök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerekir. Yani, $x-4 \ge 0$ olmalıdır.
- Bu eşitsizliği çözdüğümüzde $x \ge 4$ sonucunu elde ederiz.
- Bu koşul, $x$ değerlerinin $[4, \infty)$ aralığında olması gerektiğini gösterir.
- İkinci Kısım: Rasyonel İfade
- $\frac{1}{x-6}$ ifadesinin gerçel sayılarda tanımlı olabilmesi için, paydanın sıfırdan farklı olması gerekir. Yani, $x-6 \ne 0$ olmalıdır.
- Bu eşitsizliği çözdüğümüzde $x \ne 6$ sonucunu elde ederiz.
- Bu koşul, $x$ değerinin $6$ olmaması gerektiğini gösterir.
- Tanım Kümelerinin Birleştirilmesi
- Fonksiyonun tamamının tanımlı olabilmesi için, her iki koşulun da aynı anda sağlanması gerekir.
- Yani, hem $x \ge 4$ olmalı hem de $x \ne 6$ olmalıdır.
- Bu iki koşulu birleştirdiğimizde, $x$ değerleri $4$'ten başlayıp sonsuza kadar gitmeli, ancak $6$ değeri bu kümeden çıkarılmalıdır.
- Bu durumu aralık gösterimiyle ifade edersek: $[4, 6) \cup (6, \infty)$ şeklinde yazılır. Bu, $4$ dahil olmak üzere $6$'ya kadar olan sayılar ile $6$ hariç olmak üzere $6$'dan sonsuza kadar olan sayıların birleşimidir.
Bu durumda, fonksiyonun en geniş tanım kümesi $[4, 6) \cup (6, \infty)$ olur.
Cevap C seçeneğidir.
