KPSS Matematik: Fonksiyonlar Çıkmış Sorular ve Detaylı Çözümleri Test 1

$f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$ fonksiyonunun tersi olan $f^{-1}(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\frac{x-1}{2x+3}$
B) $\frac{x+3}{x-2}$
C) $\frac{x+1}{x-3}$
D) $\frac{x-3}{x-2}$
E) $\frac{x+1}{2x-3}$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bir fonksiyonun tersini bulmak, fonksiyonun yaptığı işlemi tersine çevirmek demektir. Yani, $f(x)$ fonksiyonu $x$ değerini alıp bir $y$ değeri üretiyorsa, $f^{-1}(x)$ fonksiyonu da bu $y$ değerini alıp tekrar $x$ değerini üretir. Şimdi, $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$ fonksiyonunun tersini adım adım bulalım:

• Adım 1: $f(x)$ yerine $y$ yazın.

  Fonksiyonumuzu daha rahat işlem yapabilmek için $f(x)$ yerine $y$ yazarak denklemi şu şekilde ifade ederiz:

  $y = \frac{2x+3}{x-1}$

• Adım 2: $x$ ve $y$ değişkenlerinin yerlerini değiştirin.

  Fonksiyonun tersini bulmak için temel kural, $x$ ve $y$ değişkenlerinin rollerini değiştirmektir. Yani, denklemdeki her $x$ yerine $y$, her $y$ yerine $x$ yazarız:

  $x = \frac{2y+3}{y-1}$

• Adım 3: Yeni denklemi $y$ için çözün.

  Şimdi amacımız, bu yeni denklemi $y$ yalnız kalacak şekilde düzenlemektir. $y$ yalnız kaldığında bulduğumuz ifade, fonksiyonun tersi olan $f^{-1}(x)$ olacaktır. Denklemi çözmeye başlayalım:

  • Denklemimiz: $x = \frac{2y+3}{y-1}$
  • Eşitliğin her iki tarafını paydada bulunan $(y-1)$ ile çarparız. Bu, paydadan kurtulmamızı sağlar:

    $x(y-1) = 2y+3$

  • Sol taraftaki $x$'i parantezin içine dağıtırız:

    $xy - x = 2y+3$

  • İçinde $y$ bulunan terimleri eşitliğin bir tarafına (genellikle sol tarafa), diğer terimleri ise eşitliğin karşı tarafına (sağ tarafa) toplarız. Bu, $y$'yi ortak çarpan olarak almamızı kolaylaştırır:

    $xy - 2y = x+3$

  • Şimdi sol taraftaki $y$ terimini ortak çarpan parantezine alırız:

    $y(x-2) = x+3$

  • Son olarak, $y$'yi tamamen yalnız bırakmak için eşitliğin her iki tarafını $(x-2)$ ile böleriz:

    $y = \frac{x+3}{x-2}$

• Adım 4: $y$ yerine $f^{-1}(x)$ yazın.

  Böylece, $y$ için bulduğumuz ifade $f^{-1}(x)$'tir. Yani, fonksiyonun tersi:

  $f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}$

Bu sonuç, seçenekler arasında B seçeneğinde yer almaktadır.

Cevap B seçeneğidir.