A) $(- \infty, 2]$ B) $[2, \infty)$ C) $(- \infty, 3]$ D) $[3, \infty)$ E) $\mathbb{R}$
Fonksiyonun Görüntü Kümesini Bulma Adımları:
Öncelikle, mutlak değer fonksiyonunun temel özelliğini hatırlayalım. Herhangi bir gerçel sayı $A$ için, mutlak değer $|A|$ her zaman sıfıra eşit veya sıfırdan büyüktür. Yani, $|A| \ge 0$ eşitsizliği daima geçerlidir. Bu, mutlak değerin bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade etmesinden kaynaklanır ve uzaklık negatif olamaz.
Şimdi, verilen $f(x) = |x-3|+2$ fonksiyonundaki mutlak değer ifadesini inceleyelim. Burada mutlak değerin içinde $x-3$ ifadesi bulunmaktadır. Mutlak değerin temel özelliğine göre, $|x-3|$ ifadesi de her zaman sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olmak zorundadır. Yani, $|x-3| \ge 0$ eşitsizliği daima doğrudur.
Fonksiyonun tamamını oluşturmak için, $|x-3| \ge 0$ eşitsizliğinin her iki tarafına $2$ ekleyelim. Bu işlemi yaptığımızda eşitsizliğin yönü değişmez:
$|x-3| + 2 \ge 0 + 2$
$|x-3| + 2 \ge 2$
Bu eşitsizlik bize $f(x)$ fonksiyonunun alabileceği değerler hakkında bilgi verir. Gördüğümüz gibi, $f(x)$ her zaman $2$'ye eşit veya $2$'den büyük olmak zorundadır.
$f(x)$'in alabileceği en küçük değer $2$'dir. Bu en küçük değer, mutlak değer ifadesi sıfır olduğunda, yani $|x-3|=0$ olduğunda elde edilir. $|x-3|=0$ olması için $x-3=0$ olmalı, bu da $x=3$ demektir. Gerçekten de, $f(3) = |3-3|+2 = |0|+2 = 0+2 = 2$'dir. Fonksiyon $x=3$ noktasında $2$ değerini alır ve bu değerden daha küçük bir değer alamaz.
Sonuç olarak, $f(x)$ fonksiyonunun alabileceği tüm değerler $2$'ye eşit veya $2$'den büyüktür. Bu değerler kümesi, matematiksel olarak kapalı aralık gösterimiyle $[2, \infty)$ şeklinde ifade edilir. Bu küme, fonksiyonun görüntü kümesidir.
