Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, çevresi belirli olan bir dikdörtgenin alanının en fazla kaç olabileceğini bulacağız. Kenar uzunluklarının doğal sayı olması önemli bir ipucu.
- 1. Adım: Soruyu Anlayalım ve Verilenleri Belirleyelim
- Bize verilen bir dikdörtgenin çevre uzunluğu $28 \text{ cm}$'dir.
- Dikdörtgenin kenar uzunlukları doğal sayı olmalıdır (yani $1, 2, 3, \dots$ gibi pozitif tam sayılar).
- Bizden istenen, bu dikdörtgenin alanının alabileceği en büyük değerdir.
- 2. Adım: Dikdörtgenin Çevre ve Alan Formüllerini Hatırlayalım
- Bir dikdörtgenin kısa kenarına $b$, uzun kenarına $a$ dersek:
- Çevre Formülü: $2 \times (a + b)$
- Alan Formülü: $a \times b$
- 3. Adım: Çevre Bilgisini Kullanarak Kenar Uzunlukları Toplamını Bulalım
- Soruda çevre uzunluğu $28 \text{ cm}$ olarak verilmiş. Bu bilgiyi çevre formülünde yerine yazalım:
- $2 \times (a + b) = 28$
- Eşitliğin her iki tarafını $2$'ye bölersek, kenar uzunluklarının toplamını buluruz:
- $a + b = \frac{28}{2}$
- $a + b = 14 \text{ cm}$
- Bu, dikdörtgenin uzun kenarı ile kısa kenarının toplamının $14 \text{ cm}$ olması gerektiği anlamına gelir.
- 4. Adım: Toplamları $14$ Olan Doğal Sayı Çiftlerini ve Alanlarını Bulalım
- Şimdi, toplamları $14$ olan ve kenar uzunlukları doğal sayı olan tüm olası $(a, b)$ çiftlerini bulup, her bir durum için alanı hesaplayalım. Unutmayın, $a$ ve $b$ pozitif tam sayılar olmalı. Genellikle $a \ge b$ kabul ederiz.
- Eğer $b = 1 \text{ cm}$ ise, $a = 14 - 1 = 13 \text{ cm}$. Alan $= 13 \times 1 = 13 \text{ cm}^2$.
- Eğer $b = 2 \text{ cm}$ ise, $a = 14 - 2 = 12 \text{ cm}$. Alan $= 12 \times 2 = 24 \text{ cm}^2$.
- Eğer $b = 3 \text{ cm}$ ise, $a = 14 - 3 = 11 \text{ cm}$. Alan $= 11 \times 3 = 33 \text{ cm}^2$.
- Eğer $b = 4 \text{ cm}$ ise, $a = 14 - 4 = 10 \text{ cm}$. Alan $= 10 \times 4 = 40 \text{ cm}^2$.
- Eğer $b = 5 \text{ cm}$ ise, $a = 14 - 5 = 9 \text{ cm}$. Alan $= 9 \times 5 = 45 \text{ cm}^2$.
- Eğer $b = 6 \text{ cm}$ ise, $a = 14 - 6 = 8 \text{ cm}$. Alan $= 8 \times 6 = 48 \text{ cm}^2$.
- Eğer $b = 7 \text{ cm}$ ise, $a = 14 - 7 = 7 \text{ cm}$. Alan $= 7 \times 7 = 49 \text{ cm}^2$. (Bu durumda dikdörtgen bir kare olur, kare de özel bir dikdörtgendir.)
- 5. Adım: En Büyük Alanı Belirleyelim
- Hesapladığımız alan değerleri $13, 24, 33, 40, 45, 48, 49 \text{ cm}^2$'dir.
- Bu değerler arasında en büyüğü $49 \text{ cm}^2$'dir.
- Genel bir kural olarak, çevresi sabit olan dikdörtgenler arasında alanı en büyük olan, kenar uzunlukları birbirine en yakın olan (yani kareye en yakın olan) dikdörtgendir. Bu durumda kenarlar $7 \text{ cm}$ ve $7 \text{ cm}$ olduğunda alan en büyük olur.
Bu durumda dikdörtgenin alanı en fazla $49 \text{ cm}^2$ olabilir.
Cevap D seçeneğidir.
