5. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 2. senaryo Test 3

Çevre uzunluğu $30 \text{ cm}$ olan ve kenar uzunlukları doğal sayı olan bir dikdörtgenin alanı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) $12 \text{ cm}^2$

B) $20 \text{ cm}^2$

C) $36 \text{ cm}^2$

D) $60 \text{ cm}^2$

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, çevre uzunluğu verilen bir dikdörtgenin kenar uzunlukları doğal sayı olduğunda, alanının hangi değerleri alabileceğini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Dikdörtgenin Çevre Formülünü Hatırlayalım:

  Bir dikdörtgenin kısa kenar uzunluğuna $a$, uzun kenar uzunluğuna $b$ dersek, çevre uzunluğu $P$ şu formülle bulunur:

  $P = 2 \times (a + b)$

  Soruda bize çevre uzunluğunun $30 \text{ cm}$ olduğu verilmiş. Bu bilgiyi formülde yerine yazalım:

  $30 = 2 \times (a + b)$

• 2. Kenar Uzunluklarının Toplamını Bulalım:

  Eşitliğin her iki tarafını $2$'ye bölersek, kısa ve uzun kenarların toplamını buluruz:

  $\frac{30}{2} = a + b$

  $15 = a + b$

  Yani, dikdörtgenin kısa ve uzun kenarlarının toplamı $15 \text{ cm}$ olmalıdır.

• 3. Kenar Uzunlukları İçin Olası Doğal Sayı Değerlerini Belirleyelim:

  Soruda kenar uzunluklarının doğal sayı olduğu belirtilmiş. Bu, $a$ ve $b$'nin $1, 2, 3, \dots$ gibi sayılar olabileceği anlamına gelir. Ayrıca, bir dikdörtgende kısa kenar uzunluğu uzun kenar uzunluğundan küçük olmalıdır (veya eşit olabilir, bu durumda kare olur). Olası $(a, b)$ ikililerini listeleyelim (burada $a < b$ kabul edelim):

  • Eğer $a = 1 \text{ cm}$ ise, $b = 15 - 1 = 14 \text{ cm}$
  • Eğer $a = 2 \text{ cm}$ ise, $b = 15 - 2 = 13 \text{ cm}$
  • Eğer $a = 3 \text{ cm}$ ise, $b = 15 - 3 = 12 \text{ cm}$
  • Eğer $a = 4 \text{ cm}$ ise, $b = 15 - 4 = 11 \text{ cm}$
  • Eğer $a = 5 \text{ cm}$ ise, $b = 15 - 5 = 10 \text{ cm}$
  • Eğer $a = 6 \text{ cm}$ ise, $b = 15 - 6 = 9 \text{ cm}$
  • Eğer $a = 7 \text{ cm}$ ise, $b = 15 - 7 = 8 \text{ cm}$

  Not: $a$ değeri $7$'den büyük olamaz, çünkü o zaman $a \ge b$ olurdu.

• 4. Dikdörtgenin Alan Formülünü Kullanarak Olası Alanları Hesaplayalım:

  Bir dikdörtgenin alanı $A$, kısa kenar ($a$) ile uzun kenarın ($b$) çarpımıyla bulunur:

  $A = a \times b$

  Şimdi bulduğumuz her kenar ikilisi için alanı hesaplayalım:

  • $a = 1 \text{ cm}$, $b = 14 \text{ cm} \implies A = 1 \times 14 = 14 \text{ cm}^2$
  • $a = 2 \text{ cm}$, $b = 13 \text{ cm} \implies A = 2 \times 13 = 26 \text{ cm}^2$
  • $a = 3 \text{ cm}$, $b = 12 \text{ cm} \implies A = 3 \times 12 = 36 \text{ cm}^2$
  • $a = 4 \text{ cm}$, $b = 11 \text{ cm} \implies A = 4 \times 11 = 44 \text{ cm}^2$
  • $a = 5 \text{ cm}$, $b = 10 \text{ cm} \implies A = 5 \times 10 = 50 \text{ cm}^2$
  • $a = 6 \text{ cm}$, $b = 9 \text{ cm} \implies A = 6 \times 9 = 54 \text{ cm}^2$
  • $a = 7 \text{ cm}$, $b = 8 \text{ cm} \implies A = 7 \times 8 = 56 \text{ cm}^2$
• 5. Hesapladığımız Alanları Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Bulduğumuz olası alanlar şunlardır: $14, 26, 36, 44, 50, 54, 56 \text{ cm}^2$.

  Şimdi seçeneklere bakalım:

  • A) $12 \text{ cm}^2$
  • B) $20 \text{ cm}^2$
  • C) $36 \text{ cm}^2$
  • D) $60 \text{ cm}^2$

  Gördüğümüz gibi, hesapladığımız olası alanlardan biri $36 \text{ cm}^2$'dir ve bu C seçeneğinde yer almaktadır.

Cevap C seçeneğidir.