Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, alanı belirli olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları doğal sayı olduğunda, çevre uzunluğunun hangi değerleri alabileceğini veya alamayacağını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
-
1. Dikdörtgenin Alan ve Çevre Formüllerini Hatırlayalım:
Bir dikdörtgenin kenar uzunlukları $a$ ve $b$ olsun.
- Alanı: $A = a \times b$
- Çevresi: $C = 2 \times (a + b)$
Soruda bize alanın $36 \text{ cm}^2$ olduğu ve kenar uzunluklarının doğal sayı olduğu belirtiliyor. Bu çok önemli bir bilgi!
-
2. Alanı $36 \text{ cm}^2$ Olan Dikdörtgenin Olası Kenar Uzunluklarını Bulalım:
Kenar uzunlukları doğal sayı olduğuna göre, çarpımları $36$ olan tüm doğal sayı çiftlerini bulmalıyız. Bu çiftler, dikdörtgenin olası kenar uzunluklarını temsil eder:
- $1 \times 36 = 36 \implies$ Kenarlar $1 \text{ cm}$ ve $36 \text{ cm}$
- $2 \times 18 = 36 \implies$ Kenarlar $2 \text{ cm}$ ve $18 \text{ cm}$
- $3 \times 12 = 36 \implies$ Kenarlar $3 \text{ cm}$ ve $12 \text{ cm}$
- $4 \times 9 = 36 \implies$ Kenarlar $4 \text{ cm}$ ve $9 \text{ cm}$
- $6 \times 6 = 36 \implies$ Kenarlar $6 \text{ cm}$ ve $6 \text{ cm}$ (Bu özel bir durumdur, bir karedir ve kare de bir dikdörtgendir.)
-
3. Her Bir Kenar Uzunluğu Çifti İçin Çevre Uzunluğunu Hesaplayalım:
Şimdi bulduğumuz her bir kenar çifti için çevre uzunluğunu $C = 2 \times (a + b)$ formülünü kullanarak hesaplayalım:
- Kenarlar $1 \text{ cm}$ ve $36 \text{ cm}$ ise: $C = 2 \times (1 + 36) = 2 \times 37 = 74 \text{ cm}$
- Kenarlar $2 \text{ cm}$ ve $18 \text{ cm}$ ise: $C = 2 \times (2 + 18) = 2 \times 20 = 40 \text{ cm}$
- Kenarlar $3 \text{ cm}$ ve $12 \text{ cm}$ ise: $C = 2 \times (3 + 12) = 2 \times 15 = 30 \text{ cm}$
- Kenarlar $4 \text{ cm}$ ve $9 \text{ cm}$ ise: $C = 2 \times (4 + 9) = 2 \times 13 = 26 \text{ cm}$
- Kenarlar $6 \text{ cm}$ ve $6 \text{ cm}$ ise: $C = 2 \times (6 + 6) = 2 \times 12 = 24 \text{ cm}$
-
4. Hesapladığımız Çevre Uzunluklarını Seçeneklerle Karşılaştıralım:
Bulduğumuz olası çevre uzunlukları şunlardır: $74 \text{ cm}$, $40 \text{ cm}$, $30 \text{ cm}$, $26 \text{ cm}$, $24 \text{ cm}$.
Şimdi seçeneklere bakalım:
- A) $24 \text{ cm}$ (Mümkün, kenarlar $6 \text{ cm}$ ve $6 \text{ cm}$ olduğunda)
- B) $26 \text{ cm}$ (Mümkün, kenarlar $4 \text{ cm}$ ve $9 \text{ cm}$ olduğunda)
- C) $30 \text{ cm}$ (Mümkün, kenarlar $3 \text{ cm}$ ve $12 \text{ cm}$ olduğunda)
- D) $32 \text{ cm}$ (Hesapladığımız olası çevre uzunlukları arasında $32 \text{ cm}$ yoktur.)
Bu durumda, $32 \text{ cm}$ çevre uzunluğu, alanı $36 \text{ cm}^2$ olan ve kenar uzunlukları doğal sayı olan bir dikdörtgen için mümkün değildir.
Cevap D seçeneğidir.
