11. sınıf trigonometri test çöz Test 1

\( \theta \) dar açı olmak üzere, \( \sec\theta = \frac{5}{4} \) ise \( \tan\theta \) değeri kaçtır?

A) \( \frac{3}{4} \)
B) \( \frac{4}{3} \)
C) \( \frac{3}{5} \)
D) \( \frac{4}{5} \)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir dar açının sekant değeri verilmiş ve bizden tanjant değerini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• Adım 1: Sekant Fonksiyonunu Anlayalım ve Kosinüs Değerini Bulalım

• Sekant fonksiyonu ($\sec\theta$), kosinüs fonksiyonunun ($\cos\theta$) çarpmaya göre tersidir. Yani, $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$'dır.

  Soruda bize $\sec\theta = \frac{5}{4}$ olarak verilmiş.

  Bu durumda, $\frac{1}{\cos\theta} = \frac{5}{4}$ eşitliğinden, $\cos\theta = \frac{4}{5}$ olduğunu kolayca bulabiliriz.

• Adım 2: Bir Dik Üçgen Çizelim ve Bilinen Kenarları Yerleştirelim

• Kosinüs, bir dik üçgende "komşu dik kenarın hipotenüse oranı" demektir. Yani, $\cos\theta = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}$.

  Biz $\cos\theta = \frac{4}{5}$ bulduğumuza göre, bu oran bize şunu söyler:

  • $\theta$ açısının komşusundaki dik kenarın uzunluğu $4$ birimdir.
  • Hipotenüsün uzunluğu $5$ birimdir.

  Şimdi zihnimizde veya bir kağıt üzerinde bir dik üçgen canlandıralım ve bu kenarları yerleştirelim.

• Adım 3: Pisagor Teoremini Kullanarak Eksik Kenarı Bulalım

• Bir dik üçgende, dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir. Bu, meşhur Pisagor Teoremi'dir: $(\text{Dik Kenar 1})^2 + (\text{Dik Kenar 2})^2 = (\text{Hipotenüs})^2$.

  Bizim üçgenimizde komşu dik kenar $4$, hipotenüs $5$. Bilmediğimiz kenar ise $\theta$ açısının karşısındaki dik kenardır. Buna "Karşı Dik Kenar" diyelim.

  Hesaplamayı yapalım:

  • $(\text{Karşı Dik Kenar})^2 + (\text{Komşu Dik Kenar})^2 = (\text{Hipotenüs})^2$
  • $(\text{Karşı Dik Kenar})^2 + 4^2 = 5^2$
  • $(\text{Karşı Dik Kenar})^2 + 16 = 25$
  • $(\text{Karşı Dik Kenar})^2 = 25 - 16$
  • $(\text{Karşı Dik Kenar})^2 = 9$
  • $\text{Karşı Dik Kenar} = \sqrt{9} = 3$

  Böylece, $\theta$ açısının karşısındaki dik kenarın uzunluğunu $3$ birim olarak bulduk. Bu, "3-4-5" özel dik üçgenini hatırlatır!

• Adım 4: Tanjant Değerini Hesaplayalım

• Tanjant fonksiyonu ($\tan\theta$), bir dik üçgende "karşı dik kenarın komşu dik kenara oranı" demektir. Yani, $\tan\theta = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}}$.

  Önceki adımlarda bulduğumuz kenar uzunluklarını yerine yazalım:

  • Karşı Dik Kenar $= 3$
  • Komşu Dik Kenar $= 4$

  O halde, $\tan\theta = \frac{3}{4}$ olur.

Gördüğünüz gibi, trigonometrik oranları ve Pisagor Teoremi'ni kullanarak bu tür soruları kolayca çözebiliriz.

Cevap A seçeneğidir.