Bu soruyu çözmek için öncelikle verilen $ABC$ üçgeninin kenar uzunluklarını bulmalı, ardından homoteti (benzerlik dönüşümü) özelliğini kullanarak $A'B'C'$ üçgeninin kenar uzunlukları toplamını hesaplamalıyız.
İki nokta arasındaki uzaklık formülü olan $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ ifadesini kullanarak kenar uzunluklarını bulabiliriz.
$A(0,0)$ ve $B(4,0)$ noktaları arasındaki uzaklık ($AB$ kenarı):
$|AB| = \sqrt{(4-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$ birim.
$B(4,0)$ ve $C(0,3)$ noktaları arasındaki uzaklık ($BC$ kenarı):
$|BC| = \sqrt{(0-4)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ birim.
$C(0,3)$ ve $A(0,0)$ noktaları arasındaki uzaklık ($CA$ kenarı):
$|CA| = \sqrt{(0-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = \sqrt{9} = 3$ birim.
$ABC$ üçgeninin çevre uzunluğu, kenar uzunluklarının toplamıdır:
Çevre$(ABC) = |AB| + |BC| + |CA| = 4 + 5 + 3 = 12$ birim.
Bir şekil, orijin etrafında $k$ oranında büyütüldüğünde (homoteti), yeni şeklin tüm kenar uzunlukları orijinal şeklin kenar uzunluklarının $k$ katı olur. Dolayısıyla, yeni şeklin çevre uzunluğu da orijinal şeklin çevre uzunluğunun $k$ katı olacaktır.
Bu soruda büyütme oranı $k=2$ olarak verilmiştir.
$A'B'C'$ üçgeninin kenar uzunlukları toplamı, $ABC$ üçgeninin çevre uzunluğunun $k$ katı olacaktır:
Çevre$(A'B'C') = k \times \text{Çevre}(ABC) = 2 \times 12 = 24$ birim.
Buna göre, $A'B'C'$ üçgeninin kenar uzunlukları toplamı $24$ birimdir.
Cevap A seçeneğidir.
