9. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 2. senaryo Test 2

Bir $ABC$ üçgeninde $AB$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası ve $AC$ kenarı üzerinde bir $E$ noktası alınıyor. $DE$ doğru parçası $BC$ doğru parçasına paraleldir. Eğer $AD = 4$ cm, $DB = 6$ cm ve $DE = 3$ cm ise, $BC$ uzunluğu kaç cm'dir?

A) $7.5$

B) $8$

C) $9$

D) $10$

E) $12$

Sevgili öğrenciler, bu problemde bir üçgenin içinde paralel doğrularla oluşan benzer üçgenler konusunu kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Verilenleri Anlayalım ve Şekli Gözümüzde Canlandıralım:

  Bir $ABC$ üçgenimiz var. $AB$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası ve $AC$ kenarı üzerinde bir $E$ noktası bulunuyor. En önemli bilgi ise $DE$ doğru parçasının $BC$ doğru parçasına paralel olmasıdır ($DE \parallel BC$).

  Verilen uzunluklar:

  $AD = 4$ cm

  $DB = 6$ cm

  $DE = 3$ cm

  Bizden istenen $BC$ uzunluğunu bulmaktır.

• 2. Benzer Üçgenleri Tespit Edelim:

  $DE \parallel BC$ olduğu için, temel benzerlik teoremi (veya Tales teoremi) gereği $\triangle ADE$ üçgeni ile $\triangle ABC$ üçgeni benzerdir. Yani, $\triangle ADE \sim \triangle ABC$.

  Bu benzerlik, karşılıklı açıların eşit olmasından kaynaklanır:

  $\angle DAE = \angle BAC$ (Ortak açı)

  $\angle ADE = \angle ABC$ (Yöndeş açılar, $DE \parallel BC$ olduğundan)

  $\angle AED = \angle ACB$ (Yöndeş açılar, $DE \parallel BC$ olduğundan)

• 3. Benzerlik Oranını Yazalım:

  Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir. Bu durumda:

  $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$

• 4. Gerekli Uzunlukları Hesaplayalım:

  Benzerlik oranını kullanabilmek için $AB$ kenarının uzunluğunu bulmalıyız. $AB$ kenarı, $AD$ ve $DB$ parçalarının toplamıdır:

  $AB = AD + DB$

  $AB = 4 \text{ cm} + 6 \text{ cm}$

  $AB = 10 \text{ cm}$

• 5. Orantıyı Kurup Çözüme Ulaşalım:

  Şimdi bildiğimiz değerleri benzerlik oranında yerine yazalım. Biz $AD$, $AB$ ve $DE$ değerlerini biliyoruz, $BC$ değerini arıyoruz. Bu yüzden $\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$ kısmını kullanacağız.

  $\frac{4}{10} = \frac{3}{BC}$

  Şimdi içler dışlar çarpımı yaparak $BC$ uzunluğunu bulalım:

  $4 \times BC = 10 \times 3$

  $4 \times BC = 30$

  $BC = \frac{30}{4}$

  $BC = \frac{15}{2}$

  $BC = 7.5 \text{ cm}$

Bu durumda $BC$ uzunluğu $7.5$ cm'dir.

Cevap A seçeneğidir.