9. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 3. senaryo Test 1

Kenar uzunlukları $6 \text{ cm}$, $8 \text{ cm}$ ve $10 \text{ cm}$ olan bir $ABC$ üçgeni ile, kenar uzunlukları $9 \text{ cm}$, $12 \text{ cm}$ ve $15 \text{ cm}$ olan bir $DEF$ üçgeni veriliyor.
Bu iki üçgen için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Üçgenler eştir.

B) Üçgenler benzerdir ve benzerlik oranı $2/3$'tür.

C) Üçgenler benzerdir ve benzerlik oranı $3/2$'dir.

D) Üçgenler ne eş ne de benzerdir.

E) Üçgenler benzerdir ancak benzerlik oranı belirlenemez.

Sevgili öğrenciler, bu soruda iki farklı üçgenin kenar uzunlukları verilmiş ve bu üçgenler arasındaki ilişkiyi bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu soruyu çözelim.

• 1. Adım: Üçgenlerin Kenar Uzunluklarını İnceleyelim ve Özel Bir Durum Olup Olmadığını Kontrol Edelim.

  İlk üçgenimiz $ABC$'nin kenar uzunlukları $6 \text{ cm}$, $8 \text{ cm}$ ve $10 \text{ cm}$.

  İkinci üçgenimiz $DEF$'nin kenar uzunlukları $9 \text{ cm}$, $12 \text{ cm}$ ve $15 \text{ cm}$.

  Acaba bu üçgenler dik üçgen mi? Pisagor teoremini hatırlayalım: Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir ($a^2 + b^2 = c^2$).

  • $ABC$ üçgeni için:

    $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

    $10^2 = 100$

    Gördüğümüz gibi $6^2 + 8^2 = 10^2$ eşitliği sağlanıyor. Bu durumda $ABC$ üçgeni bir dik üçgendir. En uzun kenar olan $10 \text{ cm}$ hipotenüstür.

  • $DEF$ üçgeni için:

    $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$

    $15^2 = 225$

    Burada da $9^2 + 12^2 = 15^2$ eşitliği sağlanıyor. Demek ki $DEF$ üçgeni de bir dik üçgendir. En uzun kenar olan $15 \text{ cm}$ hipotenüstür.

  Her iki üçgenin de dik üçgen olduğunu belirledik. Bu bilgi, benzerlik kontrolünde bize yardımcı olabilir.

• 2. Adım: Üçgenlerin Eş Olup Olmadığını Kontrol Edelim.

  İki üçgenin eş olması için karşılıklı kenar uzunluklarının ve açı ölçülerinin tamamen aynı olması gerekir. Kenar uzunluklarına baktığımızda $ABC$ üçgeninin kenarları $(6, 8, 10)$ iken, $DEF$ üçgeninin kenarları $(9, 12, 15)$'tir. Kenar uzunlukları farklı olduğu için bu üçgenler eş değildir. Bu durumda A seçeneği yanlış olur.

• 3. Adım: Üçgenlerin Benzer Olup Olmadığını Kontrol Edelim ve Benzerlik Oranını Bulalım.

  İki üçgenin benzer olması için karşılıklı kenar uzunluklarının oranlarının eşit olması gerekir. Yani, bir üçgenin kenarlarını diğer üçgenin karşılık gelen kenarlarına böldüğümüzde hep aynı sayıyı elde etmeliyiz. Kenarları küçükten büyüğe doğru sıralayarak oranlayalım:

  • En kısa kenarların oranı:

    $ABC$ üçgeninin en kısa kenarı $6 \text{ cm}$.

    $DEF$ üçgeninin en kısa kenarı $9 \text{ cm}$.

    Oran: $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

  • Orta uzunluktaki kenarların oranı:

    $ABC$ üçgeninin orta uzunluktaki kenarı $8 \text{ cm}$.

    $DEF$ üçgeninin orta uzunluktaki kenarı $12 \text{ cm}$.

    Oran: $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

  • En uzun kenarların (hipotenüslerin) oranı:

    $ABC$ üçgeninin en uzun kenarı $10 \text{ cm}$.

    $DEF$ üçgeninin en uzun kenarı $15 \text{ cm}$.

    Oran: $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

  Gördüğümüz gibi, tüm karşılıklı kenar uzunluklarının oranları birbirine eşittir ve bu oran $\frac{2}{3}$'tür. Bu durum, $ABC$ ve $DEF$ üçgenlerinin benzer olduğunu gösterir. Benzerlik oranı ise $\frac{2}{3}$'tür (küçük üçgenden büyük üçgene doğru oranladığımızda).

• 4. Adım: Seçenekleri Değerlendirelim.
  • A) Üçgenler eştir. (Yanlış, kenar uzunlukları farklı.)
  • B) Üçgenler benzerdir ve benzerlik oranı $2/3$'tür. (Doğru, yaptığımız hesaplamalarla uyumlu.)
  • C) Üçgenler benzerdir ve benzerlik oranı $3/2$'dir. (Bu oran, $DEF$ üçgeninden $ABC$ üçgenine doğru oranlandığında elde edilir. Ancak genellikle ilk verilen üçgenin ikinciye oranı sorulur veya küçükten büyüğe oranlama tercih edilir.)
  • D) Üçgenler ne eş ne de benzerdir. (Yanlış, benzer olduklarını bulduk.)
  • E) Üçgenler benzerdir ancak benzerlik oranı belirlenemez. (Yanlış, benzerlik oranını belirledik.)

Bu adımları takip ederek, iki üçgenin benzer olduğunu ve benzerlik oranının $2/3$ olduğunu kesin olarak belirledik.

Cevap B seçeneğidir.