9. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 3. senaryo Test 2

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{A}) = 50^{\circ}$ ve $m(\widehat{B}) = 70^{\circ}$ olarak verilmiştir.
Bir $DEF$ üçgeninde ise $m(\widehat{D}) = 50^{\circ}$ ve $m(\widehat{E}) = 70^{\circ}$ olarak verilmiştir.
Bu iki üçgen için aşağıdaki ifadelerden hangisi daima doğrudur?

A) $ABC$ ve $DEF$ üçgenleri eştir.

B) $ABC$ ve $DEF$ üçgenleri benzerdir.

C) $ABC$ ve $DEF$ üçgenlerinin alanları eşittir.

D) $ABC$ ve $DEF$ üçgenlerinin çevreleri eşittir.

E) Bu üçgenler hakkında benzerlik veya eşlik için yeterli bilgi yoktur.

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, iki üçgenin açıları verilmiş ve bu üçgenler arasındaki ilişkiyi bulmamız isteniyor. Adım adım inceleyelim:

• Verilen Bilgileri İnceleyelim:
  • Bir $ABC$ üçgeni için: $m(\widehat{A}) = 50^{\circ}$ ve $m(\widehat{B}) = 70^{\circ}$.
  • Bir $DEF$ üçgeni için: $m(\widehat{D}) = 50^{\circ}$ ve $m(\widehat{E}) = 70^{\circ}$.
• Üçgenlerin Üçüncü Açılarını Bulalım:

  Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman $180^{\circ}$'dir. Bu bilgiyi kullanarak her iki üçgenin üçüncü açılarını bulabiliriz.

  • $ABC$ üçgeni için:

    $m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^{\circ}$

    $50^{\circ} + 70^{\circ} + m(\widehat{C}) = 180^{\circ}$

    $120^{\circ} + m(\widehat{C}) = 180^{\circ}$

    $m(\widehat{C}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$

  • $DEF$ üçgeni için:

    $m(\widehat{D}) + m(\widehat{E}) + m(\widehat{F}) = 180^{\circ}$

    $50^{\circ} + 70^{\circ} + m(\widehat{F}) = 180^{\circ}$

    $120^{\circ} + m(\widehat{F}) = 180^{\circ}$

    $m(\widehat{F}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$

• Üçgenlerin Açılarını Karşılaştıralım:
  • $m(\widehat{A}) = 50^{\circ}$ ve $m(\widehat{D}) = 50^{\circ}$ (Eşit)
  • $m(\widehat{B}) = 70^{\circ}$ ve $m(\widehat{E}) = 70^{\circ}$ (Eşit)
  • $m(\widehat{C}) = 60^{\circ}$ ve $m(\widehat{F}) = 60^{\circ}$ (Eşit)

  Gördüğümüz gibi, her iki üçgenin de tüm karşılıklı açıları birbirine eşittir.

• Benzerlik ve Eşlik Kavramlarını Hatırlayalım:
  • Benzerlik: İki üçgenin tüm karşılıklı açıları eşitse, bu üçgenler benzerdir. Benzer üçgenlerin şekilleri aynıdır ancak boyutları farklı olabilir. Karşılıklı kenar uzunlukları orantılıdır. Bu duruma "Açı-Açı-Açı (AAA) Benzerlik Kuralı" denir.
  • Eşlik: İki üçgenin hem tüm karşılıklı açıları hem de tüm karşılıklı kenar uzunlukları eşitse, bu üçgenler eştir. Eş üçgenler hem şekil hem de boyut olarak tamamen aynıdır.
• Seçenekleri Değerlendirelim:
  • A) $ABC$ ve $DEF$ üçgenleri eştir.

    Üçgenlerin eş olması için sadece açılarının eşit olması yeterli değildir; kenar uzunluklarının da eşit olması gerekir. Bize kenar uzunlukları hakkında bilgi verilmediği için bu ifade daima doğru değildir. Örneğin, bir küçük üçgen ile bir büyük üçgenin açıları aynı olabilir ama eş olamazlar.

  • B) $ABC$ ve $DEF$ üçgenleri benzerdir.

    Yukarıda bulduğumuz gibi, her iki üçgenin de tüm karşılıklı açıları birbirine eşittir ($50^{\circ}, 70^{\circ}, 60^{\circ}$). Bu durum, Açı-Açı-Açı (AAA) benzerlik kuralına göre üçgenlerin benzer olduğunu gösterir. Bu ifade daima doğrudur.

  • C) $ABC$ ve $DEF$ üçgenlerinin alanları eşittir.

    Benzer üçgenlerin alanları, benzerlik oranının karesiyle orantılıdır. Eğer üçgenler eş değilse (yani benzerlik oranı 1 değilse), alanları da eşit olmaz. Bu ifade daima doğru değildir.

  • D) $ABC$ ve $DEF$ üçgenlerinin çevreleri eşittir.

    Benzer üçgenlerin çevreleri, benzerlik oranıyla orantılıdır. Eğer üçgenler eş değilse, çevreleri de eşit olmaz. Bu ifade daima doğru değildir.

  • E) Bu üçgenler hakkında benzerlik veya eşlik için yeterli bilgi yoktur.

    Tüm karşılıklı açıların eşit olduğunu bulduğumuz için, benzerlik için yeterli bilgiye sahibiz. Bu ifade yanlıştır.

Sonuç olarak, iki üçgenin tüm karşılıklı açılarının eşit olması, onların kesinlikle benzer olduğunu gösterir.

Cevap B seçeneğidir.