Bir $ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları $a$, $b$, $c$ olsun. Bu üçgene benzer ve benzerlik oranı $k=3$ olan bir $DEF$ üçgeni oluşturmak için $DEF$ üçgeninin kenar uzunlukları nasıl belirlenmelidir?
A) $DEF$ üçgeninin kenar uzunlukları $a/3$, $b/3$, $c/3$ olmalıdır.
B) $DEF$ üçgeninin kenar uzunlukları $a$, $b$, $c$ ile aynı olmalıdır.
C) $DEF$ üçgeninin kenar uzunlukları $3a$, $3b$, $3c$ olmalıdır.
D) $DEF$ üçgeninin kenar uzunlukları $a+3$, $b+3$, $c+3$ olmalıdır.
E) $DEF$ üçgeninin kenar uzunlukları $a^3$, $b^3$, $c^3$ olmalıdır.
Öğrenciler, bu soruyu çözmek için üçgenlerde benzerlik kavramını iyi anlamamız gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Benzer Üçgenler Nedir?
- İki üçgenin benzer olması demek, karşılıklı açılarının eşit olması ve karşılıklı kenar uzunluklarının oranının sabit olması demektir. Bu sabit orana benzerlik oranı denir.
- Yani, eğer bir $ABC$ üçgeni ile bir $DEF$ üçgeni benzer ise, karşılıklı kenarlarının oranları birbirine eşittir. Bu oranı $k$ ile gösterirsek, $k$ benzerlik oranıdır.
- 2. Benzerlik Oranı Nasıl Uygulanır?
- Eğer $ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları $a$, $b$, $c$ ise ve bu üçgene benzer olan $DEF$ üçgeninin kenar uzunlukları $d$, $e$, $f$ ise, benzerlik oranı $k$ olmak üzere şu ilişkiler geçerlidir:
- $\frac{d}{a} = k$
- $\frac{e}{b} = k$
- $\frac{f}{c} = k$
- Bu denklemlerden, $DEF$ üçgeninin kenar uzunluklarını $ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları ve benzerlik oranı cinsinden ifade edebiliriz:
- $d = k \cdot a$
- $e = k \cdot b$
- $f = k \cdot c$
- Yani, benzer bir üçgenin kenar uzunlukları, orijinal üçgenin kenar uzunluklarının benzerlik oranı kadar katıdır.
- 3. Sorudaki Bilgileri Uygulayalım:
- Bize $ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları $a$, $b$, $c$ olarak verilmiş.
- Oluşturmak istediğimiz $DEF$ üçgeni, $ABC$ üçgenine benzer olacak ve benzerlik oranı $k=3$ olacak.
- Yukarıdaki formüllerde $k$ yerine $3$ yazarsak, $DEF$ üçgeninin kenar uzunluklarını buluruz:
- $d = 3 \cdot a$
- $e = 3 \cdot b$
- $f = 3 \cdot c$
- Bu durumda, $DEF$ üçgeninin kenar uzunlukları $3a$, $3b$, $3c$ olmalıdır.
- 4. Seçenekleri Değerlendirelim:
- A) $DEF$ üçgeninin kenar uzunlukları $a/3$, $b/3$, $c/3$ olmalıdır. (Bu, benzerlik oranı $k=1/3$ olsaydı doğru olurdu.)
- B) $DEF$ üçgeninin kenar uzunlukları $a$, $b$, $c$ ile aynı olmalıdır. (Bu, benzerlik oranı $k=1$ olsaydı, yani üçgenler eş olsaydı doğru olurdu.)
- C) $DEF$ üçgeninin kenar uzunlukları $3a$, $3b$, $3c$ olmalıdır. (Bu, bizim hesapladığımız sonuçla tamamen aynıdır.)
- D) $DEF$ üçgeninin kenar uzunlukları $a+3$, $b+3$, $c+3$ olmalıdır. (Benzerlik, kenarlara sabit bir sayı eklemekle değil, çarpmakla ilgilidir.)
- E) $DEF$ üçgeninin kenar uzunlukları $a^3$, $b^3$, $c^3$ olmalıdır. (Bu da benzerlik tanımına uymaz.)
Bu adımları takip ettiğimizde, doğru cevabın C seçeneği olduğunu açıkça görüyoruz.
Cevap C seçeneğidir.
