9. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 3. senaryo Test 2

Bir $ABC$ dik üçgeninde $AB \perp BC$'dir. $BC$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası alınıyor ve $AD$ doğru parçası çiziliyor. Eğer $D$ noktasından $AC$ kenarına $DE \perp AC$ olacak şekilde bir $DE$ doğru parçası çizilirse, $ADE$ üçgeni ile $ABC$ üçgeni arasındaki ilişki hakkında ne söylenebilir?

A) Her zaman eştirler.

B) Her zaman benzerdirler.

C) Hiçbir zaman benzer olamazlar.

D) Alanları eşittir.

E) Sadece özel durumlarda benzer olabilirler.

• Öncelikle soruda verilen bilgileri dikkatlice inceleyelim ve üçgenleri tanıyalım.
• Bir $ABC$ dik üçgenimiz var ve $AB \perp BC$ olduğu belirtilmiş. Bu bilgi, $\angle B$ açısının $90^\circ$ olduğunu gösterir. Yani, $\triangle ABC$ bir dik üçgendir ve dik açısı $B$ köşesindedir.
• $BC$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası alınıyor ve $AD$ doğru parçası çiziliyor.
• $D$ noktasından $AC$ kenarına $DE \perp AC$ olacak şekilde bir $DE$ doğru parçası çiziliyor. Bu bilgi ise $\angle E$ açısının $90^\circ$ olduğunu gösterir. Yani, $\triangle ADE$ de bir dik üçgendir ve dik açısı $E$ köşesindedir.
• Şimdi, $\triangle ABC$ ve $\triangle ADE$ üçgenleri arasındaki ilişkiyi bulmak için açılarını karşılaştıralım:
  • Her iki üçgende de birer dik açı bulunmaktadır: $\angle B = 90^\circ$ ( $\triangle ABC$ için) ve $\angle E = 90^\circ$ ( $\triangle ADE$ için).
  • Her iki üçgenin de ortak bir açısı vardır: $\angle A$. Yani, $\angle BAC$ açısı ile $\angle DAE$ açısı aynı açıdır.
• İki üçgenin benzer olabilmesi için en az iki açısının eşit olması yeterlidir (Açı-Açı Benzerlik Teoremi). Bizim durumumuzda, $\triangle ABC$ ve $\triangle ADE$ üçgenlerinin ikişer açısı birbirine eşittir:
  • $\angle B = \angle E = 90^\circ$
  • $\angle A = \angle A$ (ortak açı)
• Bu durumda, Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi'ne göre $\triangle ABC$ ve $\triangle ADE$ üçgenleri her zaman benzerdir.
• Diğer seçenekleri değerlendirelim:
  • A) Her zaman eştirler: Benzer üçgenler her zaman eş olmak zorunda değildir. Eş olmaları için karşılıklı kenar uzunluklarının da eşit olması gerekir ki bu genel bir durum değildir.
  • C) Hiçbir zaman benzer olamazlar: Bu, bulduğumuz sonuçla çelişir.
  • D) Alanları eşittir: Benzer üçgenlerin alanları, benzerlik oranının karesiyle orantılıdır. Alanlarının eşit olması için eş olmaları gerekir, bu da genel bir durum değildir.
  • E) Sadece özel durumlarda benzer olabilirler: Yukarıda gösterdiğimiz gibi, bu iki üçgen her zaman benzerdir, özel bir durum gerektirmez.

Cevap B seçeneğidir.