Bu problem, günlük hayatta sıkça karşılaştığımız gölge oluşumlarını matematiksel olarak incelememizi sağlıyor. Temelinde benzer üçgenler prensibi yatan bu tür soruları adım adım çözerek kolayca anlayabiliriz. Haydi başlayalım!
1. Problemi Anlayalım ve Görselleştirelim:
Bir sokak lambası bir ışık kaynağıdır ve bu ışık kaynağı, önünde duran cisimlerin gölgelerini oluşturur. Lamba direği ve kişi zemine dik durduğu için, ışık kaynağından çıkan ışınlar, cisimlerin boyları ve gölge uzunlukları arasında dik üçgenler oluşur. Bu üçgenler, ışık kaynağı aynı olduğu için benzer üçgenlerdir. Bu durumda iki ana dik üçgenimiz var: Birincisi, lambanın tepesinden çıkan ışın, lambanın direği ve zemindeki toplam gölge uzunluğu ile oluşan büyük üçgen. İkincisi, kişinin tepesinden çıkan ışın, kişinin boyu ve kişinin kendi gölgesinin uzunluğu ile oluşan küçük üçgen. Bu iki üçgenin benzer olması, kenar uzunlukları arasındaki oranların eşit olacağı anlamına gelir.
2. Verilen Bilgileri Belirleyelim:
Verilenler şunlardır:
Sokak lambasının boyu ($H_L$) = $6$ metre.
Problemin ilk cümlesinde "gölgesinin uzunluğu ise $8$ metredir" ifadesi, lambanın oluşturduğu toplam gölge uzunluğunu (yani lambanın tabanından gölgenin ucuna kadar olan mesafeyi) belirtir. Bu, büyük üçgenin taban uzunluğudur. Toplam gölge uzunluğu ($S_T$) = $8$ metre.
Kişinin boyu ($H_P$) = $1.5$ metre.
Aradığımız şey: Kişinin gölgesinin uzunluğu ($S_P$).
3. Benzer Üçgenler Oranını Kuralım:
Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir. Yani, büyük üçgenin yüksekliğinin tabanına oranı, küçük üçgenin yüksekliğinin tabanına oranına eşit olacaktır:
$\frac{\text{Lambanın Boyu}}{\text{Toplam Gölge Uzunluğu}} = \frac{\text{Kişinin Boyu}}{\text{Kişinin Gölgesinin Uzunluğu}}$
Matematiksel olarak ifade edersek:
$\frac{H_L}{S_T} = \frac{H_P}{S_P}$
4. Değerleri Yerine Koyalım ve Çözelim:
Şimdi elimizdeki değerleri denklemde yerine yazalım:
$\frac{6}{8} = \frac{1.5}{S_P}$
Bu denklemi çözmek için içler dışlar çarpımı yaparız:
$6 \times S_P = 8 \times 1.5$
$6 S_P = 12$
Şimdi $S_P$'yi bulmak için her iki tarafı $6$'ya bölelim:
$S_P = \frac{12}{6}$
$S_P = 2$ metre.
5. Sonuç:
Buna göre, kişinin gölgesinin uzunluğu $2$ metredir.
Cevap B seçeneğidir.
