Bir $KLM$ üçgeninin iç açı ölçüleri $m(\angle K) = 65^\circ$ ve $m(\angle L) = 45^\circ$ olarak verilmiştir. Bu üçgene benzer bir $PRS$ üçgeni oluşturulmak isteniyor. Buna göre, $PRS$ üçgeninin iç açı ölçüleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) $m(\angle P) = 65^\circ$, $m(\angle R) = 45^\circ$, $m(\angle S) = 70^\circ$ olabilir.
B) $m(\angle P)$ kesinlikle $65^\circ$'dir.
C) $m(\angle R)$ kesinlikle $45^\circ$'dir.
D) $m(\angle S)$ kesinlikle $70^\circ$'dir.
E) $PRS$ üçgeninin açıları $KLM$ üçgeninin açılarından daha büyük olmalıdır.
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruyu çözmek için üçgenlerin temel özelliklerini ve benzerlik kavramını hatırlamamız gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: $KLM$ üçgeninin tüm iç açılarını bulalım.
- Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman $180^\circ$'dir.
- Bize verilen açılar: $m(\angle K) = 65^\circ$ ve $m(\angle L) = 45^\circ$.
- Üçüncü açı olan $m(\angle M)$'yi bulmak için bu bilgiyi kullanalım:
- $m(\angle K) + m(\angle L) + m(\angle M) = 180^\circ$
- $65^\circ + 45^\circ + m(\angle M) = 180^\circ$
- $110^\circ + m(\angle M) = 180^\circ$
- $m(\angle M) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$
- Yani, $KLM$ üçgeninin iç açıları $65^\circ$, $45^\circ$ ve $70^\circ$'dir.
- Adım 2: Benzer üçgenlerin açı özellikleri hakkında bilgi edinelim.
- İki üçgenin benzer olması demek, birinin diğerinin büyütülmüş veya küçültülmüş bir kopyası olması demektir.
- Benzer üçgenlerin en önemli özelliklerinden biri, karşılıklı açılarının ölçülerinin eşit olmasıdır.
- Bu, $KLM$ üçgenine benzer bir $PRS$ üçgeninin iç açılarının da $65^\circ$, $45^\circ$ ve $70^\circ$ olması gerektiği anlamına gelir. Ancak hangi açının hangi açıya karşılık geldiği değişebilir. Yani, $m(\angle P)$ $65^\circ$, $45^\circ$ veya $70^\circ$ olabilir; önemli olan $PRS$ üçgeninin açılarının kümesinin $\{65^\circ, 45^\circ, 70^\circ\}$ olmasıdır.
- Adım 3: Seçenekleri değerlendirelim.
- A) $m(\angle P) = 65^\circ$, $m(\angle R) = 45^\circ$, $m(\angle S) = 70^\circ$ olabilir.
- Bu açılar $65^\circ + 45^\circ + 70^\circ = 180^\circ$ toplamını sağlamaktadır.
- Bu açılar, $KLM$ üçgeninin açılarıyla tamamen aynıdır. Bu, $PRS$ üçgeninin $KLM$ üçgenine benzer olabileceği bir durumdur. Bu ifade doğrudur.
- B) $m(\angle P)$ kesinlikle $65^\circ$'dir.
- Bu ifade yanlıştır. $PRS$ üçgeni, $KLM$ üçgenine benzer olabilir ve $P$ köşesi $L$ köşesine karşılık gelebilir. Bu durumda $m(\angle P)$ $45^\circ$ olurdu. "Kesinlikle" ifadesi bu seçeneği yanlış yapar.
- C) $m(\angle R)$ kesinlikle $45^\circ$'dir.
- Bu ifade de yanlıştır. Benzerlik durumunda $R$ köşesi $K$ köşesine karşılık gelebilir ve $m(\angle R)$ $65^\circ$ olabilir.
- D) $m(\angle S)$ kesinlikle $70^\circ$'dir.
- Bu ifade de yanlıştır. $S$ köşesi $K$ veya $L$ köşesine karşılık gelebilir ve $m(\angle S)$ $65^\circ$ veya $45^\circ$ olabilir.
- E) $PRS$ üçgeninin açıları $KLM$ üçgeninin açılarından daha büyük olmalıdır.
- Bu ifade kesinlikle yanlıştır. Benzer üçgenlerin karşılıklı açıları eşittir, daha büyük veya daha küçük değildir. Üçgenin "büyüklüğü" kenar uzunluklarıyla ilgilidir, açılarla değil.
Yukarıdaki değerlendirmelere göre, sadece A seçeneği $PRS$ üçgeninin iç açıları için doğru bir olasılığı ifade etmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
