9. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 2. senaryo Test 2

Pisagor teoreminin meşhur ispatlarından biri, dik üçgenin kenarları üzerine kurulan karelerin alanları arasındaki ilişkiyi kullanır. Bir dik üçgenin dik kenarları $a$ ve $b$, hipotenüsü $c$ olmak üzere $a^2+b^2=c^2$ bağıntısını ispatlamak için aşağıdaki önermelerden hangisinin kullanılmasına gerek yoktur?

A) Bir karenin alanı, kenar uzunluğunun karesine eşittir.

B) İki üçgenin benzer olması için karşılıklı açılarının eşit olması yeterlidir.

C) Dik üçgende dik açıdan hipotenüse indirilen yüksekliğin uzunluğu, hipotenüsü ayırdığı parçaların geometrik ortalamasıdır. (Öklid'in Yükseklik Teoremi)

D) Alanı bilinen bir şekil, parçalara ayrıldığında parçaların alanları toplamı ana şeklin alanına eşittir.

E) Bir üçgenin alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.

Merhaba sevgili öğrenciler,

Pisagor teoremi, geometri dünyasının en temel ve en güzel teoremlerinden biridir. Bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu ifade eder: $a^2+b^2=c^2$. Bu teoremin birçok farklı ispatı vardır ve soru, bu ispatlardan "dik üçgenin kenarları üzerine kurulan karelerin alanları arasındaki ilişkiyi kullanan" bir tanesi için hangi önermenin gerekli olmadığını soruyor.

Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim ve hangi önermenin neden gerekli olup olmadığını açıklayalım:

• A) Bir karenin alanı, kenar uzunluğunun karesine eşittir.

  Bu önerme, Pisagor teoremini ispatlarken dik kenarlar ve hipotenüs üzerine kurulan karelerin alanlarını ifade etmek için kesinlikle gereklidir. Eğer karelerin alanlarından bahsediyorsak, bu alanları nasıl hesapladığımızı bilmeliyiz. Yani $A = \text{kenar}^2$ bilgisini kullanırız.

• B) İki üçgenin benzer olması için karşılıklı açılarının eşit olması yeterlidir.

  Pisagor teoreminin en meşhur ispatlarından biri, Öklid'in ispatıdır ve bu ispatta dik açıdan hipotenüse indirilen yükseklik kullanılır. Bu yükseklik, büyük dik üçgeni iki küçük dik üçgene ayırır ve bu üç küçük üçgen birbirine benzerdir. Benzerlik sayesinde kenar oranları yazılır ve $a^2=cp$ ile $b^2=cq$ (burada $p$ ve $q$ hipotenüsün ayrıldığı parçalardır) bağıntıları elde edilir. Bu bağıntılar toplanarak $a^2+b^2=c(p+q)=c^2$ sonucuna ulaşılır. Dolayısıyla, üçgenlerin benzerliği kavramı bu tür bir ispat için temeldir.

• C) Dik üçgende dik açıdan hipotenüse indirilen yüksekliğin uzunluğu, hipotenüsü ayırdığı parçaların geometrik ortalamasıdır. (Öklid'in Yükseklik Teoremi)

  Bu teorem, $h^2 = p \cdot q$ şeklinde ifade edilir. Evet, bu da Öklid'in dik üçgenlerle ilgili önemli bir teoremidir ve benzer üçgenlerden türetilir. Ancak, Pisagor teoremini ispatlamak için $a^2=cp$ ve $b^2=cq$ (Öklid'in Kenar/Dikey Dikme Teoremleri olarak da bilinir) bağıntıları yeterlidir. $h^2 = p \cdot q$ bağıntısı, Pisagor teoreminin ispatında doğrudan kullanılmaz. Yani, bu önerme Pisagor teoreminin ispatı için gerekli değildir.

• D) Alanı bilinen bir şekil, parçalara ayrıldığında parçaların alanları toplamı ana şeklin alanına eşittir.

  Bu önerme, "alanların korunumu" ilkesidir ve Pisagor teoreminin birçok görsel ispatında (örneğin, bir büyük karenin dört dik üçgen ve bir küçük kareye ayrılması gibi) temel bir rol oynar. Şekilleri parçalara ayırıp yeniden düzenleyerek alan eşitlikleri kurduğumuzda bu ilkeyi kullanırız. Bu nedenle, bu önerme kesinlikle gereklidir.

• E) Bir üçgenin alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.

  Pisagor teoreminin alan tabanlı ispatlarında, genellikle dik üçgenlerin alanlarını hesaplamamız gerekir. Örneğin, bir büyük karenin içine yerleştirilen dört dik üçgenin alanını hesaplarken bu formülü ($A = rac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik}$) kullanırız. Bu nedenle, bu önerme de gereklidir.

Sonuç olarak, Pisagor teoreminin alan ilişkilerini kullanan ispatlarında, Öklid'in Yükseklik Teoremi ($h^2=pq$) doğrudan bir gereklilik değildir. Diğer önermeler ise bu tür ispatların temelini oluşturur.

Cevap C seçeneğidir.