Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir üçgenin koordinatları verilmiş ve bu üçgenin orijin etrafında belirli bir oranda büyütülmesiyle elde edilen yeni üçgen hakkında bazı ifadeler sorgulanmaktadır. Adım adım bu ifadeleri inceleyelim ve hangisinin yanlış olduğunu bulalım.
Bir şeklin orijin etrafında $k$ kat büyütülmesi (genişletilmesi) demek, şeklin her bir köşesinin koordinatlarının $k$ ile çarpılması demektir. Yani, bir $(x,y)$ noktası $k$ kat büyütüldüğünde yeni koordinatları $(kx, ky)$ olur.
Soruda verilen $KLM$ üçgeninin köşeleri $K(1,2)$, $L(3,2)$ ve $M(2,4)$'tür. Genişletme oranı $2$ kat olarak verilmiştir. Bu durumda yeni üçgenin köşelerinin koordinatlarını bulalım:
A seçeneği, "Yeni üçgenin köşelerinin koordinatları $K'(2,4)$, $L'(6,4)$ ve $M'(4,8)$'dir." der. Yukarıdaki hesaplamalarımızla bu koordinatlar tamamen aynıdır. Dolayısıyla, A seçeneği doğrudur.
B seçeneği, "$KLM$ üçgeni ile $K'L'M'$ üçgeni benzerdir." der. Bir şeklin genişletilmesi (dilatasyon) işlemi, şeklin boyutunu değiştirir ancak açılarının ölçülerini korur. Bu da, orijinal şekil ile genişletilmiş şeklin benzer olduğu anlamına gelir. Benzer şekillerin karşılıklı açıları eşittir ve karşılıklı kenar uzunlukları orantılıdır. Dolayısıyla, B seçeneği doğrudur.
C seçeneği, "Benzerlik oranı $1:2$'dir." der. Genişletme oranı $2$ olduğu için, $KLM$ üçgeninin bir kenar uzunluğunun, $K'L'M'$ üçgeninin karşılık gelen kenar uzunluğuna oranı $1:2$'dir. Örneğin, $KL$ kenarının uzunluğunu bulalım: $KL = \sqrt{(3-1)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$. $K'L'$ kenarının uzunluğunu bulalım: $K'L' = \sqrt{(6-2)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4$. Oran $2:4 = 1:2$'dir. Dolayısıyla, C seçeneği doğrudur.
D seçeneği, "$KLM$ üçgeninin alanı, $K'L'M'$ üçgeninin alanının dörtte biridir." der. Benzer iki üçgenin benzerlik oranı $a:b$ ise, alanları oranı $a^2:b^2$ olur. Bizim durumumuzda benzerlik oranı $1:2$'dir. Bu durumda alan oranı $(1)^2 : (2)^2 = 1:4$'tür. Yani, Alan($KLM$) : Alan($K'L'M'$) = $1:4$. Bu da Alan($KLM$) = $\frac{1}{4}$ Alan($K'L'M'$) demektir. Dolayısıyla, D seçeneği doğrudur.
E seçeneği, "$KLM$ üçgeni ile $K'L'M'$ üçgeni eştir." der. Eş üçgenler, hem şekil hem de boyut olarak tamamen aynı olan üçgenlerdir. Genişletme (dilatasyon) işlemi, üçgenin boyutunu değiştirir (bu durumda büyütür). $K'L'M'$ üçgeni, $KLM$ üçgeninden daha büyüktür. Bu nedenle, iki üçgen eş olamazlar. Eş üçgenlerde benzerlik oranı $1:1$ olmalıdır, ancak bizim benzerlik oranımız $1:2$'dir. Dolayısıyla, E seçeneği yanlıştır.
Yukarıdaki analizler sonucunda, yanlış olan ifadenin E seçeneğinde yer aldığı görülmüştür.
Cevap E seçeneğidir.
