9. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 4. senaryo Test 2

Kenar uzunlukları $3 \text{ cm}$, $4 \text{ cm}$ ve $5 \text{ cm}$ olan bir $ABC$ üçgeni ile kenar uzunlukları $6 \text{ cm}$, $8 \text{ cm}$ ve $10 \text{ cm}$ olan bir $DEF$ üçgeni için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A) Bu üçgenler eştir.

B) Bu üçgenler benzer değildir.

C) Bu üçgenler benzerdir ve benzerlik oranı $1:2$'dir.

D) Bu üçgenler benzerdir ve benzerlik oranı $2:1$'dir.

E) Bu üçgenler hakkında eşlik veya benzerlik yorumu yapılamaz.

Bu soruda, iki farklı üçgenin kenar uzunlukları verilmiş ve bu üçgenler arasındaki ilişkiyi (eşlik veya benzerlik) belirlememiz isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Üçgenlerin Kenar Uzunluklarını İnceleyelim:

  Birinci üçgen ($ABC$) için kenar uzunlukları $3 \text{ cm}$, $4 \text{ cm}$ ve $5 \text{ cm}$'dir.

  İkinci üçgen ($DEF$) için kenar uzunlukları $6 \text{ cm}$, $8 \text{ cm}$ ve $10 \text{ cm}$'dir.

• 2. Üçgenlerin Benzer Olup Olmadığını Kontrol Edelim:

  İki üçgenin benzer olması için, karşılıklı kenar uzunluklarının oranlarının birbirine eşit olması gerekir. Bu oranlara "benzerlik oranı" denir. Kenarları küçükten büyüğe doğru sıralayarak oranları kontrol edelim:

  En küçük kenarların oranı: $\frac{3 \text{ cm}}{6 \text{ cm}} = \frac{1}{2}$

  Ortanca kenarların oranı: $\frac{4 \text{ cm}}{8 \text{ cm}} = \frac{1}{2}$

  En büyük kenarların oranı: $\frac{5 \text{ cm}}{10 \text{ cm}} = \frac{1}{2}$

• 3. Benzerlik Oranını Değerlendirelim:

  Gördüğümüz gibi, karşılıklı tüm kenar uzunluklarının oranları birbirine eşittir ve bu oran $\frac{1}{2}$'dir. Bu durum, $ABC$ üçgeni ile $DEF$ üçgeninin benzer olduğunu gösterir.

  Benzerlik oranı $1:2$ olarak ifade edilir. Bu, $ABC$ üçgeninin kenarlarının, $DEF$ üçgeninin karşılıklı kenarlarının yarısı uzunluğunda olduğu anlamına gelir.

• 4. Eşlik Durumunu Kontrol Edelim:

  Eş üçgenler, benzerlik oranı $1:1$ olan üçgenlerdir. Yani, tüm kenar uzunlukları ve açıları aynıdır. Bizim bulduğumuz benzerlik oranı $1:2$ olduğu için bu üçgenler eş değildir.

• 5. Seçenekleri Değerlendirelim:

  A) Bu üçgenler eştir. (Yanlış, benzerlik oranı $1:1$ değil.)

  B) Bu üçgenler benzer değildir. (Yanlış, benzerlik oranları $1:2$ olduğu için benzerdirler.)

  C) Bu üçgenler benzerdir ve benzerlik oranı $1:2$'dir. (Doğru, bulduğumuz sonuçla eşleşiyor.)

  D) Bu üçgenler benzerdir ve benzerlik oranı $2:1$'dir. (Yanlış, eğer $DEF$'nin $ABC$'ye oranı sorulsaydı $2:1$ olurdu, ancak soruda belirtilen sıra $ABC$ ve $DEF$ olduğu için $ABC$'nin $DEF$'ye oranı $1:2$'dir.)

  E) Bu üçgenler hakkında eşlik veya benzerlik yorumu yapılamaz. (Yanlış, yorum yapabiliyoruz.)

Ek bilgi olarak, her iki üçgenin de Pisagor teoremini ($a^2 + b^2 = c^2$) sağladığını fark edebilirsiniz:

$ABC$ üçgeni için: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$. Bu, $ABC$ üçgeninin bir dik üçgen olduğunu gösterir.

$DEF$ üçgeni için: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$. Bu da $DEF$ üçgeninin bir dik üçgen olduğunu gösterir.

İki dik üçgenin kenarları orantılı olduğu için benzer olmaları beklenen bir durumdur.

Cevap C seçeneğidir.