9. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 4. senaryo Test 2

Bir $ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları $a=5 \text{ cm}$, $b=7 \text{ cm}$ ve $c=8 \text{ cm}$'dir. Bu üçgene benzer bir $DEF$ üçgeni oluşturulmak isteniyor.
Eğer $DEF$ üçgeninin benzerlik oranı $k=2$ olacak şekilde bir benzer üçgen oluşturulursa, $DEF$ üçgeninin kenar uzunlukları toplamı kaç santimetre olur?

A) $20$

B) $40$

C) $60$

D) $80$

E) $100$

Bu problemde, benzer üçgenlerin temel özelliklerini kullanarak bir üçgenin kenar uzunlukları toplamını (çevresini) bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Adım: Verilen $ABC$ üçgeninin kenar uzunluklarını ve çevresini belirleyelim.

  Soruda bize $ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları verilmiştir:

  $a=5 \text{ cm}$

  $b=7 \text{ cm}$

  $c=8 \text{ cm}$

  Bu üçgenin kenar uzunlukları toplamı, yani çevresi, şu şekilde bulunur:

  $\text{Çevre}_{ABC} = a + b + c = 5 \text{ cm} + 7 \text{ cm} + 8 \text{ cm} = 20 \text{ cm}$.

• 2. Adım: Benzer üçgenlerin özelliklerini hatırlayalım.

  İki üçgen benzer olduğunda, karşılıklı kenar uzunlukları arasında sabit bir oran bulunur. Bu orana benzerlik oranı denir ve genellikle $k$ ile gösterilir. Eğer bir üçgen, başka bir üçgene benzerlik oranı $k$ ile benzerse, benzer üçgenin her bir kenarı, orijinal üçgenin karşılık gelen kenarının $k$ katı uzunluğunda olur.

  Ayrıca, benzer üçgenlerin çevreleri oranı da benzerlik oranına eşittir. Yani, $\text{Çevre}_{DEF} = k \cdot \text{Çevre}_{ABC}$ eşitliği geçerlidir.

• 3. Adım: $DEF$ üçgeninin kenar uzunluklarını benzerlik oranını kullanarak bulalım.

  Soruda $DEF$ üçgeninin $ABC$ üçgenine benzer olduğu ve benzerlik oranının $k=2$ olduğu belirtilmiştir. Bu durumda, $DEF$ üçgeninin kenar uzunlukları, $ABC$ üçgeninin kenar uzunluklarının $2$ katı olacaktır:

  Kenar $d = k \cdot a = 2 \cdot 5 \text{ cm} = 10 \text{ cm}$

  Kenar $e = k \cdot b = 2 \cdot 7 \text{ cm} = 14 \text{ cm}$

  Kenar $f = k \cdot c = 2 \cdot 8 \text{ cm} = 16 \text{ cm}$

• 4. Adım: $DEF$ üçgeninin kenar uzunlukları toplamını (çevresini) hesaplayalım.

  $DEF$ üçgeninin kenar uzunlukları toplamı, yani çevresi, bulduğumuz kenar uzunluklarının toplamıdır:

  $\text{Çevre}_{DEF} = d + e + f = 10 \text{ cm} + 14 \text{ cm} + 16 \text{ cm} = 40 \text{ cm}$.

  Alternatif olarak, 2. adımda bahsettiğimiz gibi, benzer üçgenlerin çevreleri oranı benzerlik oranına eşit olduğu için, $DEF$ üçgeninin çevresini doğrudan $ABC$ üçgeninin çevresini benzerlik oranıyla çarparak da bulabiliriz:

  $\text{Çevre}_{DEF} = k \cdot \text{Çevre}_{ABC} = 2 \cdot 20 \text{ cm} = 40 \text{ cm}$.

Her iki yöntemle de $DEF$ üçgeninin kenar uzunlukları toplamının $40 \text{ cm}$ olduğunu bulduk.

Cevap B seçeneğidir.