Bu soruda, verilen bir üçgene benzer bir üçgen oluşturmak için hangi bilgilerin yeterli olduğunu bulmamız isteniyor. İki üçgenin benzer olması için belirli koşulları sağlaması gerekir. Bu koşulları hatırlayarak soruyu adım adım çözelim.
Bir üçgenin iç açılarının toplamı $180^{\circ}$'dir. Bize $\angle K = 45^{\circ}$ ve $\angle L = 60^{\circ}$ olarak verilmiş.
Üçüncü açı olan $\angle M$'yi bulmak için:
$\angle K + \angle L + \angle M = 180^{\circ}$
$45^{\circ} + 60^{\circ} + \angle M = 180^{\circ}$
$105^{\circ} + \angle M = 180^{\circ}$
$\angle M = 180^{\circ} - 105^{\circ}$
$\angle M = 75^{\circ}$
Yani, $KLM$ üçgeninin açıları $45^{\circ}$, $60^{\circ}$ ve $75^{\circ}$'dir.
İki üçgenin benzer olması için aşağıdaki kriterlerden biri yeterlidir:
Açı-Açı (AA) Benzerlik Kriteri: İki üçgenin karşılıklı iki açısı eşitse, bu üçgenler benzerdir. (Üçüncü açılar da otomatik olarak eşit olur.)
Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Kriteri: İki üçgenin karşılıklı iki kenarı orantılı ve bu kenarlar arasındaki açılar eşitse, bu üçgenler benzerdir.
Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Kriteri: İki üçgenin karşılıklı tüm kenarları orantılı ise, bu üçgenler benzerdir.
Bu soruda en çok kullanacağımız kriter Açı-Açı (AA) benzerlik kriteri olacaktır.
Her bir seçeneği, $PRS$ üçgeninin $KLM$ üçgenine benzer olup olmadığını belirlemek için inceleyelim:
A) $PR = 5$ cm: Sadece bir kenar uzunluğu verilmiş. Bu bilgi, benzerlik için yeterli değildir. Açılar veya diğer kenar oranları hakkında bilgiye ihtiyacımız var.
B) $\angle P = 45^{\circ}$, $PS = 7$ cm: Bir açı ve bir kenar uzunluğu verilmiş. Bu da benzerlik için yeterli değildir. En az iki açı veya iki kenar ve aralarındaki açıya ihtiyacımız var.
C) $\angle P = 45^{\circ}$, $\angle R = 60^{\circ}$: $PRS$ üçgeninin iki açısı verilmiş.
$\angle P = 45^{\circ}$ (Bu, $KLM$ üçgenindeki $\angle K = 45^{\circ}$ ile aynıdır.)
$\angle R = 60^{\circ}$ (Bu, $KLM$ üçgenindeki $\angle L = 60^{\circ}$ ile aynıdır.)
İki üçgenin karşılıklı iki açısı eşit olduğu için (AA Benzerlik Kriteri), $PRS$ üçgeni $KLM$ üçgenine benzerdir. Bu bilgi yeterlidir.
D) $\angle S = 75^{\circ}$, $RS = 10$ cm: Bir açı ve bir kenar uzunluğu verilmiş. $\angle S = 75^{\circ}$ açısı $KLM$ üçgenindeki $\angle M = 75^{\circ}$ açısıyla aynı olsa bile, tıpkı B seçeneğinde olduğu gibi, tek başına bir açı ve bir kenar benzerlik için yeterli değildir.
E) $PR = 5$ cm, $RS = 7$ cm: İki kenar uzunluğu verilmiş. Bu bilgi de benzerlik için yeterli değildir. Bu kenarlar arasındaki açıya veya üçüncü kenara ihtiyacımız var.
Sonuç olarak, C seçeneğindeki bilgiler (iki açının eşit olması) Açı-Açı (AA) benzerlik kriterini sağladığı için $PRS$ üçgeninin $KLM$ üçgenine benzer olduğunu kanıtlamak için yeterlidir.
Cevap C seçeneğidir.
