Bir $ABC$ dik üçgeninde $AB \perp AC$ ve $AH \perp BC$ olmak üzere, $H$ noktası $BC$ üzerindedir. Eğer $BH = 2$ cm ve $HC = 8$ cm ise, $AC$ kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
A) $4$
B) $2\sqrt{5}$
C) $4\sqrt{5}$
D) $8$
E) $10$
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problemde bir dik üçgende Öklid Bağıntıları'nı kullanarak kenar uzunluğu bulacağız. Adım adım ilerleyelim.
Öncelikle soruda verilen bilgileri dikkatlice inceleyelim:
Bir $ABC$ dik üçgeni var ve $AB \perp AC$ olduğu için dik açı $A$ köşesindedir.
$AH \perp BC$ olduğu için $AH$, $BC$ kenarına ait yüksekliktir. $H$ noktası $BC$ üzerindedir.
$BH = 2$ cm ve $HC = 8$ cm olarak verilmiş.
Bizden $AC$ kenarının uzunluğu isteniyor.
Bu tür dik üçgen ve yüksekliğin olduğu durumlarda aklımıza hemen Öklid Bağıntıları gelmelidir. Öklid Bağıntıları, bir dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin oluşturduğu parçalar ve dik kenarlar arasındaki ilişkileri ifade eder.
$AC$ kenarı bir dik kenardır. Dik kenarlar için Öklid Bağıntısı şöyledir: "Bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerindeki kendi dik izdüşümünün uzunluğu ile hipotenüsün tamamının uzunluğunun çarpımına eşittir."
$AC$ kenarının hipotenüs üzerindeki dik izdüşümü $HC$ kenarıdır. Hipotenüsün tamamı ise $BC$ kenarıdır.
Bu durumda bağıntıyı matematiksel olarak şöyle ifade edebiliriz: $AC^2 = HC \cdot BC$.
Şimdi bu bağıntıyı kullanabilmek için $BC$ kenarının uzunluğunu bulmamız gerekiyor. $H$ noktası $BC$ üzerinde olduğu için $BC = BH + HC$ olacaktır.
Verilen değerleri yerine koyalım: $BC = 2 \text{ cm} + 8 \text{ cm} = 10 \text{ cm}$.
Şimdi $AC$ kenarının uzunluğunu bulmak için Öklid Bağıntısı'nı kullanalım:
$AC^2 = HC \cdot BC$
$AC^2 = 8 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm}$
$AC^2 = 80$
$AC$ uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü almalıyız:
$AC = \sqrt{80}$
$\sqrt{80}$ ifadesini sadeleştirelim. $80$ sayısını bir tam kare ile çarpanlarına ayırabiliriz. $80 = 16 \cdot 5$ olduğunu biliyoruz.
$AC = \sqrt{16 \cdot 5}$
$AC = \sqrt{16} \cdot \sqrt{5}$
$AC = 4\sqrt{5}$ cm.
Böylece $AC$ kenarının uzunluğunu $4\sqrt{5}$ cm olarak bulmuş olduk. Seçeneklere baktığımızda bu değerin C seçeneğinde yer aldığını görüyoruz.
