11. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 5. senaryo Test 1

$y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir. Buna göre $y = f(x)$ fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A) $f(-x) = f(x)$

B) $f(-x) = -f(x)$

C) $f(x+a) = f(x) + a$

D) $f(x)$ çift fonksiyondur.

E) $f(x)$ bir parabol belirtir.

• Bir fonksiyonun grafiğinin orijine göre simetrik olması ne anlama gelir, öncelikle bunu anlayalım. Eğer bir $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrikse, bu şu demektir: Grafiğin üzerinde herhangi bir $(x, y)$ noktası varsa, bu noktanın orijine göre simetriği olan $(-x, -y)$ noktası da mutlaka grafiğin üzerinde olmalıdır.
• Şimdi bu bilgiyi fonksiyon notasyonuyla ifade edelim:
  • Eğer $(x, y)$ noktası grafiğin üzerindeyse, bu $y = f(x)$ anlamına gelir.
  • Eğer $(-x, -y)$ noktası da grafiğin üzerindeyse, bu da $-y = f(-x)$ anlamına gelir.
• Yukarıdaki iki ifadeyi birleştirelim:
  • İlk ifadeden $y$ yerine $f(x)$ yazabiliriz.
  • İkinci ifadede $y$ yerine $f(x)$ yazarsak, $-f(x) = f(-x)$ eşitliğini elde ederiz.
  • Bu eşitliği daha yaygın kullanılan haliyle $f(-x) = -f(x)$ şeklinde yazabiliriz.
• Bu eşitliği sağlayan fonksiyonlara "tek fonksiyonlar" denir. Yani, orijine göre simetrik olan fonksiyonlar tek fonksiyonlardır.
• Şimdi seçenekleri inceleyelim:
  • A) $f(-x) = f(x)$: Bu ifade, fonksiyonun y-eksenine göre simetrik olduğunu gösterir ve bu tür fonksiyonlara "çift fonksiyon" denir. Orijine göre simetriklik için bu ifade doğru değildir.
  • B) $f(-x) = -f(x)$: Bu ifade, yukarıda yaptığımız çıkarımla tamamen aynıdır. Orijine göre simetrik olan fonksiyonların temel özelliğidir. Bu ifade doğrudur.
  • C) $f(x+a) = f(x) + a$: Bu ifade, fonksiyonun belirli bir dönüşümünü (eğik öteleme) temsil eder ve orijine göre simetriklik ile doğrudan ilgili değildir.
  • D) $f(x)$ çift fonksiyondur: Orijine göre simetrik olan fonksiyonlar tek fonksiyonlardır. Çift fonksiyonlar y-eksenine göre simetriktir. Bu ifade yanlıştır.
  • E) $f(x)$ bir parabol belirtir: Bir parabol genellikle y-eksenine göre simetrik olabilir (örneğin $y=x^2$) veya x-eksenine göre simetrik olabilir (ancak bu durumda bir fonksiyon olmaz). Orijine göre simetrik olan bir fonksiyonun mutlaka parabol olması gerekmez (örneğin $y=x^3$ orijine göre simetriktir ama parabol değildir). Bu ifade genel olarak doğru değildir.

Cevap B seçeneğidir.