Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
$x^2-x-6 \leq 0$
$x^2-4 > 0$
A) $[-2, -1)$
B) $(-\infty, -2) \cup (3, \infty)$
C) $(-2, 2)$
D) $(2, 3]$
E) $[-2, 2) \cup (2, 3]$
Bu eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulmak için her bir eşitsizliği ayrı ayrı çözmeli ve ardından bulduğumuz çözüm kümelerinin kesişimini almalıyız.
Birinci Eşitsizliğin Çözümü: $x^2-x-6 \leq 0$
Öncelikle $x^2-x-6=0$ denkleminin köklerini bulalım. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırabiliriz: $(x-3)(x+2)=0$.
Denklemin kökleri $x_1 = -2$ ve $x_2 = 3$'tür.
$x^2-x-6$ parabolü yukarı doğru açılan bir paraboldür (baş katsayısı $1 > 0$). Bu tür bir parabol, kökleri arasında negatif değerler alır.
Eşitsizlik $x^2-x-6 \leq 0$ olduğu için, çözüm kümesi kökleri de dahil olmak üzere kökler arasındaki aralıktır.
Birinci eşitsizliğin çözüm kümesi $Ç_1 = [-2, 3]$'tür.
İkinci Eşitsizliğin Çözümü: $x^2-4 > 0$
Öncelikle $x^2-4=0$ denkleminin köklerini bulalım. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırabiliriz: $(x-2)(x+2)=0$.
Denklemin kökleri $x_1 = -2$ ve $x_2 = 2$'dir.
$x^2-4$ parabolü yukarı doğru açılan bir paraboldür (baş katsayısı $1 > 0$). Bu tür bir parabol, köklerinin dışında pozitif değerler alır.
Eşitsizlik $x^2-4 > 0$ olduğu için, çözüm kümesi kökler hariç köklerin dışındaki aralıklardır.
Sistemin çözüm kümesi, her iki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimidir: $Ç = Ç_1 \cap Ç_2$.
$Ç_1 = [-2, 3]$
$Ç_2 = (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$
Bu iki kümeyi kesiştirelim:
$[-2, 3]$ aralığı ile $(-\infty, -2)$ aralığının kesişimi boş kümedir, çünkü $-2$ değeri $Ç_1$'e dahilken $Ç_2$'ye dahil değildir.
$[-2, 3]$ aralığı ile $(2, \infty)$ aralığının kesişimi $(2, 3]$'tür. Çünkü $x$ hem $2$'den büyük (dahil değil) hem de $3$'e eşit veya küçük (dahil) olmalıdır.
Dolayısıyla, eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi $(2, 3]$'tür.
