Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, verilen bir $f(x)$ fonksiyonunun grafiğinden yola çıkarak, $g(x) = f(x-2)+1$ fonksiyonunun grafiğini bulmamız isteniyor. Fonksiyon grafiği dönüşümleri konusunu adım adım inceleyelim.
- 1. Adım: Fonksiyon Dönüşümlerini Anlayalım
- Bir $f(x)$ fonksiyonunun grafiği üzerinde yapılan dönüşümler genellikle iki ana kategoriye ayrılır: öteleme (kaydırma) ve germe/sıkıştırma/yansıma. Bu soruda sadece öteleme dönüşümleri bulunmaktadır.
- $f(x-c)$ şeklindeki bir dönüşüm, grafiği yatay olarak kaydırır. Eğer $c > 0$ ise grafik $c$ birim sağa, eğer $c < 0$ ise grafik $|c|$ birim sola kayar.
- $f(x)+k$ şeklindeki bir dönüşüm, grafiği dikey olarak kaydırır. Eğer $k > 0$ ise grafik $k$ birim yukarı, eğer $k < 0$ ise grafik $|k|$ birim aşağı kayar.
- 2. Adım: $g(x) = f(x-2)+1$ Fonksiyonundaki Dönüşümleri Belirleyelim
- Verilen $g(x) = f(x-2)+1$ fonksiyonunda iki dönüşüm vardır:
- Yatay Kaydırma: $f(x-2)$ ifadesi, $c=2$ olduğu için $f(x)$ grafiğini $2$ birim sağa kaydırır. Yani, her noktanın $x$-koordinatı $2$ artar.
- Dikey Kaydırma: $+1$ ifadesi, $k=1$ olduğu için $f(x)$ grafiğini $1$ birim yukarı kaydırır. Yani, her noktanın $y$-koordinatı $1$ artar.
- 3. Adım: Anahtar Noktaları Dönüştürelim
- Soruda $f(x)$ fonksiyonunun iki anahtar noktası verilmiştir: tepe noktası $(1, -2)$ ve $y$-eksenini kestiği nokta $(0, -1)$. Bu noktaları yukarıdaki dönüşümlere göre değiştirelim.
- Tepe Noktası $(1, -2)$ için:
- Yatay kaydırma (2 birim sağa): $x$-koordinatı $1+2 = 3$ olur.
- Dikey kaydırma (1 birim yukarı): $y$-koordinatı $-2+1 = -1$ olur.
- Yeni tepe noktası $(3, -1)$ olur.
- $y$-eksenini kestiği nokta $(0, -1)$ için:
- Yatay kaydırma (2 birim sağa): $x$-koordinatı $0+2 = 2$ olur.
- Dikey kaydırma (1 birim yukarı): $y$-koordinatı $-1+1 = 0$ olur.
- Bu nokta $(2, 0)$ olur. Bu nokta, $g(x)$ fonksiyonunun $x$-eksenini kestiği bir noktadır.
- 4. Adım: Seçenekleri İnceleyelim
- Şimdi bulduğumuz yeni tepe noktası $(3, -1)$ ve $(2, 0)$ noktasını içeren grafiği seçenekler arasında arayalım.
- A seçeneğindeki grafiğin tepe noktası $(3, -1)$'dir ve $(2, 0)$ noktasından geçmektedir. Bu, bizim bulduğumuz sonuçlarla tamamen uyumludur.
- Diğer seçeneklerdeki grafiklerin tepe noktaları ve/veya $(2, 0)$ noktasından geçip geçmedikleri kontrol edildiğinde, A seçeneğinin doğru olduğu açıkça görülür. Örneğin, B seçeneğinin tepe noktası $(3, -3)$'tür, C seçeneğinin tepe noktası $(-1, -1)$'dir, vb.
Bu adımları takip ettiğimizde, $g(x) = f(x-2)+1$ fonksiyonunun grafiğinin A seçeneğinde verilen grafik olduğunu görürüz.
Cevap A seçeneğidir.
